数学课件：代数式的性质及比较法证明代数式.pptVIP

*************************************比较法的常用技巧：配方法基本思想配方法是通过将代数式转化为完全平方式或平方和的形式，利用平方非负的性质来证明不等式的技巧。这种方法特别适用于含有二次项的不等式问题。代数变形配方的关键在于巧妙地添加和减去相同的项，使表达式能够写成完全平方的形式。例如，将x2+bx转化为(x+b/2)2-b2/4的形式。应用场景配方法在证明均值不等式、柯西不等式等重要不等式时有广泛应用。它也是解二次方程、分析函数极值等问题的基本工具。配方法示例问题描述证明：x2+y2+z2≥xy+yz+zx重新整理左边减去右边：(x2+y2+z2)-(xy+yz+zx)配方变形=(x2-xy)+(y2-yz)+(z2-zx)=x(x-y)+y(y-z)+z(z-x)=(1/2)[(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2]得出结论由于平方和始终是非负的，所以原不等式成立比较法的常用技巧：同除法基本思想同除法是指将不等式两边同时除以相同的正数，以简化表达式或转化问题形式的技巧。由于除以正数不改变不等号方向，这种操作保持了不等式的有效性。这种方法特别适用于处理含有分数或需要标准化的不等式问题。应用注意事项使用同除法时，必须确保除数严格大于零，否则不等号方向可能改变或不等式无意义。同除法常与其他技巧如作差法、作商法结合使用，形成更加强大的证明工具。在复杂的不等式证明中，灵活运用同除法可以大大简化计算过程。同除法示例问题描述证明：1/a+1/b≥4/(a+b)(a,b0)同乘变形两边同时乘以(a+b)/2（这是同除法的逆操作）(a+b)/(2a)+(a+b)/(2b)≥2代数化简(b+a)/(2a)+(a+b)/(2b)=b/(2a)+1/2+a/(2b)+1/2=b/(2a)+a/(2b)+1配方完成b/(2a)+a/(2b)=(b2+a2)/(4ab)=[(b-a)2+2ab]/(4ab)=(b-a)2/(4ab)+1/2由于a和b都是正数，所以(b-a)2/(4ab)≥0，因此b/(2a)+a/(2b)+1≥1/2+1=3/21。这证明了b/(2a)+a/(2b)+12，因此原不等式1/a+1/b≥4/(a+b)成立。比较法的常用技巧：倒代换法基本思想倒代换法是指将变量替换为其倒数，以简化表达式或转化为已知结论的技巧。这种方法特别适用于含有分数或倒数的不等式问题。变换技术在应用倒代换时，常见的做法是设y=1/x，然后将原表达式中的x用1/y替换，通过适当的代数变形，将问题转化为更易处理或已知的形式。对称性应用倒代换法特别适用于具有对称性或与倒数关系相关的问题。通过对称替换，有时可以直接将问题转化为已经证明过的结论。倒代换法示例问题描述证明：x+1/x≥2(x0)引入倒代换令y=1/x，则需证明：y+1/y≥2(y0)由于x0，所以y=1/x0，代换后不等式形式与原式完全相同应用作差法令D=y+1/y-2=y+1/y-2=(y2+1-2y)/y=(y-1)2/y得出结论由于y0且(y-1)2始终是非负的，所以D≥0因此y+1/y≥2成立，原不等式x+1/x≥2也成立比较法的常用技巧：构造辅助函数基本思想定义一个新函数，转化原问题函数分析研究辅助函数的性质（单调性、极值等）2应用结论将函数性质转化为原命题的证明验证完整性确保所有条件都得到考虑构造辅助函数是数学证明中的一种强大技巧，尤其适用于涉及不等式和极值问题的证明。通过定义一个新的函数，我们可以利用微积分和函数论的工具来分析问题，往往能够找到更简洁的证明路径。构造辅助函数示例问题描述证明：lnx≤x-1(x0)构造辅助函数定义函数f(x)=x-1-lnx，我们需要证明f(x)≥0对所有x0成立求导分析f(x)=1-1/x=(x-1)/x当x1时，f(x)0，函数f(x)单调递增当0x1时，f(x)0，函数f(x)单调递减确定最小值f(x)=0时