第十一章　第65课时　专题强化：带电粒子在立体空间中的运动.docx

第65课时专题强化：带电粒子在立体空间中的运动

目标要求1.会处理带电粒子在匀强磁场中的螺旋线运动和在叠加场中的旋进运动。2.掌握解决带电粒子在立体空间中的运动问题的解题思路和处理方法。

考点一带电粒子的旋进运动

空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。现在主要讨论两种情况：

(1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。

(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做“旋进”运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。

例1(1)如图甲所示，在空间中存在水平向右、沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在原点O有一个质量为m、带电荷量为q的带正电的粒子以速度v0垂直x轴射入磁场，不计粒子的重力，分析粒子的运动情况，求粒子运动轨迹距离x轴的最远距离。

(2)如图乙所示，若粒子的速度方向与x轴夹角为θ。

①试分析粒子的运动情况；

②求粒子运动的轨迹距x轴的最远距离及轨迹与x轴相邻交点之间的距离。

(3)如图丙所示，若在空间再加上沿x轴方向电场强度大小为E的匀强电场，粒子速度方向仍与x轴方向成θ角。

①试分析粒子的运动情况；

②求粒子离x轴的最大距离；

③求粒子第三次(起始位置为第零次)与x轴相交时的位置坐标。

答案见解析

解析(1)粒子在垂直x轴的平面内做匀速圆周运动，距x轴最远距离等于粒子轨迹圆的直径，

由qv0B＝mv02R1，D1＝2R1，得D

(2)①粒子速度沿x轴方向的分量v0x＝v0cosθ，

在垂直于x轴方向的分量v0y＝v0sinθ，

在垂直于x轴的平面内受洛伦兹力，粒子在垂直于x轴的平面内做匀速圆周运动，在平行于x轴方向做匀速直线运动，即做等距螺旋线运动。

②由qv0yB＝mv0y2R2，得D2＝2

粒子做匀速圆周运动的周期T＝2π

轨迹与x轴相邻交点之间的距离

Δx＝v0cosθ·T＝2πm

(3)①将粒子的初速度分解为沿x轴方向的分速度v0x和垂直x轴方向的分速度v0y，v0x＝v0cosθ，v0y＝v0sinθ

洛伦兹力方向与x轴垂直，粒子在垂直x轴的平面内做匀速圆周运动，在平行x轴方向由静电力作用下做匀加速直线运动，粒子做螺距逐渐增大的“旋进”运动。

②由qv0yB＝mv0

R3＝R2＝mv

粒子离x轴的最大距离D3＝2R3＝2m

③在x轴方向，qE＝ma，第三次与x轴相交时的位置坐标x＝v0xt＋12at2

从射出至第三次到x轴时间t＝3T＝6πR

故x＝6πmqB(v0cosθ＋3π

拓展若电、磁场方向均沿x轴正方向，粒子射入磁场的方向与x轴垂直，如图所示，粒子与x轴的交点坐标x1、x2、x3…满足什么关系？

答案见解析

解析粒子做“旋进”运动，且到达x轴的时间间隔相等，在x轴方向做初速度为0的匀加速直线运动，故x1∶x2∶x3…＝1∶4∶9…。

考点二带电粒子在立体空间中的偏转

分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系。带电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。一般情况下利用降维法，要将粒子的运动分解为两个互相垂直的分运动来求解。

例2现代科学研究中，经常用磁场和电场约束带电粒子的运动轨迹，如图所示，有一棱长为L的正方体电磁区域abcd－efgh，其中M、N分别为棱ab、棱gh的中点，以棱ef中点O为坐标原点、以ON为x轴正方向、OM为y轴正方向、Oe为z轴正方向建立三维坐标系O－xyz，正方体区域内可能单独或同时存在沿z轴负方向的匀强电场E及匀强磁场B，在O点有一粒子源，沿x轴正方向发射不同速率的带电粒子，粒子质量均为m，电荷量均为＋q，且粒子入射速度在0.9v0≤v≤3.3v0范围内均匀分布，已知磁感应强度大小为B＝3mv02qL，电场强度大小为E＝81mv02

(1)若正方体区域内只存在磁场，求入射速度大小为v0的粒子在该区域中运动的时间；

(2)若正方体区域内同时存在电场和磁场，求入射速度大小为v0的粒子从该区域射出的位置的坐标；

(3)若正方体区域内同时存在电场和磁场，求从正方体上表面abcd射出的粒子数占粒子总数的百分比。

答案(1)4πL9v0(2)(3L3，L，－8

解析(1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得

qv0B＝mv

解得r1＝2

粒子轨迹如图甲所示

根据几何关系可知cosθ＝L

则θ＝60°

设带电粒子做圆周运动的周期为T