2023年全国高中数学联赛江西省预赛试题+答案.docxVIP

2023年全国高中数学联赛江西省预赛试题

(考试时间：2023年5月21日上午9:30--12:00)

一、填空题(每小题7分，共56分)

1、用12种不同的动物图案制作成一些动物卡片，使得每张卡片上都有其中的4种不同的动物图案，

且制作过程中要求任取的两张卡片有且仅有一种动物是相同的，则最多能制作的卡片数量为

2、已知点A(1,3),B(5,4),C(3,7),D(7,1),E(10,2),F(8,6),若直线1与△ABC内(包括边界)点的最短距离等于直线l与△DEF内(包括边界)点的最短距离，则直线I的方程为

3、函数f(x)=(x+1)ln(x+1)的单调递增区间是●

4、已知关于x的方程|(x-1)(x-3)|=mx有四个不同的实根，则m的取值范围是

5、边长为1的正六面体被一个平面所截的最大截面面积为

6、若锐角A,B,C满足sin2A+sin2B+sin2C=2,则的最小值是

7、设A,B为双曲线W:与实轴的交点，P(0,1)为双曲线外一点，PA,PB分别交双曲线于另一点C,D,过C,D的切线相交于Q,若△QCD是一个正三角形，且面积为则双曲线W的方程是

8、有8块不同的积木，每块积木的形状为方形或者圆形，颜色为红色或者黄色，印有城市名为南昌或者北京，从8块不同的积木中按顺序任取n块积木(2≤n≤8),D,表示后一次与前一次取出的积木

在形状，颜色，城市名三个方面恰好有两个相同的所有不同取法总数，则

二、解答题(共64分)

9、(14分)设a≥c,b≥c,c0.证明：√c(a-c)+√cb-c)≤Jab,并确定等号成立的条件.

10、(15分)设正数列a满足,且a?=1.(1)求数列a,的通项公式；

(2)证明：对任意互不相同的正整数b?,b?,…,b,都有

11、(15分)过平行四边形ABCD的顶点作一圆交直线AC于E点，证明：AB2+AD2=AC·AE.

12、(20分)如果直角三角形的三边是两两互素的正整数，则称这种直角三角形为本原直角三角形.

(1)求本原直角三角形中面积恰好等于周长n倍的本原直角三角形的个数，并记为a;

(2)求max(a),并列出所有面积恰好等于周长的2023倍的本原直角三角形.

I≤n≤2023

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2023年全国高中数学联赛江西省预赛试题参考答案

(考试时间：2023年5月21日上午9:30--12:00)

一、填空题(每小题7分，共56分)

1、用12种不同的动物图案制作成一些动物卡片，使得每张卡片上都有其中的4种不同的动物图案，

且制作过程中要求任取的两张卡片有且仅有一种动物是相同的，则最多能制作的卡片数量为

解：将12种不同的动物图案编号为1,2,…,12,如果考虑相同的一种动物是1号，最多有3种，如(1,2,3,4),(1,5,6,7),(1,8,9,10);相同的一种动物为2号时，最多有2种，如(2,5,8,11),(2,6,9,12);相同的一种动物为3号时，最多有2种，如(3,5,10,12),(3,7,9,11);相同的一种动物为4号时，最多有2种，如(4,6,10,11),(4,7,8,12),所以最多能制作的卡片数量为9.

2、已知点A(1,3),B(5,4),C(3,7),D(7,1),E(10,2),F(8,6),若直线l与△ABC内(包括边界)点的最短距离等于直线l与△DEF内(包括边界)点的最短距离，则直线l的方程为

解：4ABC内(包括边界)的点与△DEF内(包括边界)点的最短距离为B到DF的中点

的距离，故直线L即为线段BH的中垂线，所以直线l的方程为：

即x-5y-25=0,也即

3、函数f(x)=(x+1)In(x+1)

解：f(x)=1+In(x+1)0,

的单调递增区间是

,所以函数f(x)=(x+1)In(x+1)

的单调递增区间是

4、已知关于x的方程|(x-1)(x-3)|=mx有四个不同的实根，则m的取值范围是

解：由y=mx与y=-(x-1)(x-3)在区间(1,3)内相切，可得m=4±2√3,再由切点横坐标必

须在区间(1,3)内，所以m=4+2√3不合条件，故m