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2023年全国高中数学联赛重庆预赛试题

一、填空题(本大题共8小题，每小题8分，共64分)

1.设集合中的最大元素与最小元素分别为M,N,则MN=

2.设f(x)是二次函数，且2x2-4x+3≤f(x)≤3x2-6x+4,f(3)=11,则f(5)=

3.若实数x,y满足4x2-2xy+2y2=1,则3x2+xy+y2的最大值与最小值的和为

4.一只蚂蚁在正方体ABCD-EFGH的顶点A处，每次等概率地爬行到相邻三个顶点中的一个，那么六次爬行之后回到顶点A处的概率为

5.设α,β,γ∈R,且满足sinα·cosβ+|cosα·sinβ|=sinα·|cosα|+|sinβ|·cosβ,则(tanγ-sinα)2+(coty-cosβ)2的最小值为

6.双曲线的左、右焦点分别为A,B,P是双曲线上一点，若△PAB的内切圆圆心为I(3,1),则△PAB外接圆的半径为

|7.已知复数z满足

|

|2|=1,则|z3+z2-5z+3

|

的最大值为

8.棱长为√2的正四面体ABCD中，已知.若点K为

△BCD的重心，则四面体KPQR的体积为

1

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二、解答题(本题满分56分)

9.(本题满分16分)设x,y,z≥0,且x+y+z=2,证明：3x+8xy+16xyz≤12,并指出其中“=”成立的条件.

10.(本题满分20分)已知λ为正实数，数列{an}满足：

1,2,3,…·若对任意的m∈N*,都有,求λ的最小值.

11.(本题满分20分)已知椭圆C:(ab1)的离心率为以其左顶点K为圆心，√6为半径作圆K,圆K交椭圆于A,B两点，且线段AB中点的横坐标为

(1)求椭圆C的方程；

(2)圆K交直线于C,D两点，点P在线段CD上，过点P作椭圆的两条不同切线PE,PF(E,F为切点),求△PEF面积的取值范围.

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2023年重庆市高中联赛预赛试题参考答案考试时间：80分钟

一.填空题(本题满分64分，每小题8分)

1.【答案】20√5

【解析】由1≤x≤y≤5,,x=1,y=5时取得最大值M=10.x=y=√5时取得最小值N=2√5,则MN=20√5.

2.【答案】41

【解析】2(x-1)2+1≤f(x)≤3(x-1)2+1,设f(x)=a(x-1)2+1,f(3)=11→,则f(5)=41.

3.【答案】3

【解析】齐次化，设3x2+xy+y2=k(4x2-4xy+2y2),则

(4k-3)x2-(4k+1)xy+(2k-1)y2=0

当时，,y=0是一组解.

当时，△=(4k+1)2y2-4(4k-3)(2k-1)y2≥0.

若y=0,则,舍；

若y≠0,得,且均能取等，

从而3x2+xy+y2的最大值与最小值和为3.

4.【答案】

【解析】如图将顶点分成四类{A},{B,D,E},{C,H,F},{G}

第一次后在四个集合概率分别为：(0,1,0,0)

第二次后在四个集合概率分别为：

第三次后在四个集合概率分别为：

第四次后在四个集合概率分别为：

第五次后在四个集合概率分别为：

第六次后在四个集合概率分别为：

则第六次回到A的概率为

5.【答案】3-2√2

【解析】已知等式变形为(sinα-|sinβ|(cos

β-|cosa|)=0.令x=sina,y=cosβ,则

x-√1-y2)(y-√1-x2)=0,从而x=√