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高中数学精编资源
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青华中学2023~2024学年度第二学期期中考试
高一年级数学学科试卷
(考试时间:120分钟;总分:150分)
一、选择题:(本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的.)
1.复数(是虚数单位)的虚部是()
A.2 B. C.i D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数除法运算及复数的概念求解.
【详解】因为,所以虚部为,
故选:B
2.已知单位向量,的夹角为,则()
A. B. C.0 D.
【答案】A
【解析】
【分析】由数量积的定义求出,再由数量积的运算律计算可得.
【详解】因为单位向量,的夹角为,
所以,
所以.
故选:A
3.在中,角所对的边分别为,若,则三角形一定是()
A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角形的性质结合两角和差的正弦公式求得,从而,即可判断三角形形状.
【详解】因为,所以,
所以,所以,
所以,因为,所以,
所以,所以,
所以为等腰三角形,
故选:C
4.已知点,,则与同方向的单位向量为()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出,再求出,最后根据与同方向的单位向量为计算可得.
【详解】因为,,
所以,则,
所以与同方向的单位向量为.
故选:C
5.已知中,,,,则角的值是()
A. B. C.或 D.或
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦定理计算可得.
【详解】因为,,,
由正弦定理,即,解得,
又,则,所以,所以或.
故选:D
6.已知,,则的值为()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两角和的余弦公式及同角三角函数的基本关系将切化弦,即可求出、,再由两角差的余弦公式计算可得.
【详解】因为,
,
解得,
所以.
故选:D
7.所在平面内一点满足:,且,则的值为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量线性运算得到,再由平面向量基本定理求出、,最后由二倍角公式计算可得.
【详解】因为,所以,
所以,
又,且、不共线,
所以,所以.
故选:B
8.克罗狄斯·托勒密是希腊数学家,他博学多才,既是天文学权威,也是地理学大师.托勒密定理是平面几何中非常著名的定理,它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系,该定理的内容为圆的内接四边形中,两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和.已知四边形是圆的内接四边形,且,.若,则圆的半径为()
A4 B.2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由托勒密定理求出,设圆半径为,由正弦定理可得,即可得到,再根据及二倍角公式求出,即可求出,从而得解.
【详解】解:由托勒密定理,得.
因为,所以.
设圆的半径为,由正弦定理,得.
又,所以.
因为,所以,
因为,所以,所以,
所以,则,故.
故选:B
二、选择题:(本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.)
9.已知向量,,是三个非零向量,则下列结论正确的是()
A.若,则;
B.若,,则;
C.若,则;
D.的充要条件是存在唯一的,使得.
【答案】BCD
【解析】
【分析】当与反向时判断A,根据平面向量共线定理判断B、D,根据数量积的运算律判断C.
【详解】对于A:当与反向时,满足,但是,故A错误;
对于B:因为向量,,是三个非零向量,
由,则必存在非零实数使得,
由,则必存在非零实数使得,所以,则,故B正确;
对于C:若,则,
所以,所以,故,故C正确;
对于D:因为向量,是非零向量,则充要条件是存在唯一的,使得,故D正确.
故选:BCD
10.在中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知,,且,则
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用正弦定理边化角,再结合余弦定理即可求解.
【详解】.
整理可得:
可得
为三角形内角,
故A正确,B错误.
解得,
由余弦定理得
解得,故C错误,D正确.
故选:AD.
【点
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