江苏省宿迁青华中学2023-2024学年高一下学期期中数学试卷(解析）.docxVIP

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青华中学2023～2024学年度第二学期期中考试

高一年级数学学科试卷

（考试时间：120分钟；总分：150分）

一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．）

1.复数（是虚数单位）的虚部是（）

A.2 B. C.i D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数除法运算及复数的概念求解.

【详解】因为，所以虚部为，

故选：B

2.已知单位向量，的夹角为，则（）

A. B. C.0 D.

【答案】A

【解析】

【分析】由数量积的定义求出，再由数量积的运算律计算可得.

【详解】因为单位向量，的夹角为，

所以，

所以.

故选：A

3.在中，角所对的边分别为，若，则三角形一定是（）

A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形

【答案】C

【解析】

【分析】利用三角形的性质结合两角和差的正弦公式求得，从而，即可判断三角形形状.

【详解】因为，所以，

所以，所以，

所以，因为，所以，

所以，所以，

所以为等腰三角形，

故选：C

4.已知点，，则与同方向的单位向量为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先求出，再求出，最后根据与同方向的单位向量为计算可得.

【详解】因为，，

所以，则，

所以与同方向的单位向量为.

故选：C

5.已知中，，，，则角的值是（）

A. B. C.或 D.或

【答案】D

【解析】

【分析】利用正弦定理计算可得.

【详解】因为，，，

由正弦定理，即，解得，

又，则，所以，所以或.

故选：D

6.已知，，则的值为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用两角和的余弦公式及同角三角函数的基本关系将切化弦，即可求出、，再由两角差的余弦公式计算可得.

【详解】因为，

，

解得，

所以.

故选：D

7.所在平面内一点满足：，且，则的值为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据平面向量线性运算得到，再由平面向量基本定理求出、，最后由二倍角公式计算可得.

【详解】因为，所以，

所以，

又，且、不共线，

所以，所以.

故选：B

8.克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形是圆的内接四边形，且，．若，则圆的半径为（）

A4 B.2 C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】由托勒密定理求出，设圆半径为，由正弦定理可得，即可得到，再根据及二倍角公式求出，即可求出，从而得解.

【详解】解：由托勒密定理，得．

因为，所以．

设圆的半径为，由正弦定理，得．

又，所以．

因为，所以，

因为，所以，所以，

所以，则，故．

故选：B

二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）

9.已知向量，，是三个非零向量，则下列结论正确的是（）

A.若，则；

B.若，，则；

C.若，则；

D.的充要条件是存在唯一的，使得．

【答案】BCD

【解析】

【分析】当与反向时判断A，根据平面向量共线定理判断B、D，根据数量积的运算律判断C.

【详解】对于A：当与反向时，满足，但是，故A错误；

对于B：因为向量，，是三个非零向量，

由，则必存在非零实数使得，

由，则必存在非零实数使得，所以，则，故B正确；

对于C：若，则，

所以，所以，故，故C正确；

对于D：因为向量，是非零向量，则充要条件是存在唯一的，使得，故D正确.

故选：BCD

10.在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，且，则

A. B. C. D.

【答案】AD

【解析】

【分析】利用正弦定理边化角，再结合余弦定理即可求解.

【详解】.

整理可得:

可得

为三角形内角,

故A正确，B错误.

解得,

由余弦定理得

解得,故C错误，D正确.

故选:AD.

【点