2024年第22届中国女子奥林匹克竞赛数学试卷含答案或解析 .pdf

2024年第22届中国女子奥林匹克竞赛数学试卷

1、求所有的三元正整数组(C)满足法=号+

2、如图，用144根完全相同的长度为1的细棒摆成边长为8的正方形网格状图形.问：至少需要取

走多少根细棒，才能使得剩余图形中不含矩形?请证明你的结论.

3、设q,b,c,d都是不超过1的非负实数.

下明.1|||1-4

‘•1+q+Z?1+£+c1+c+d1+d+ci、1+2^abed

4、如图，四WABCD内接于圆『，对角线ACBD互相垂直，交点、为E.设F是边AD上一点，射

线FE交『于点P线段PE上一点Q满足PQ-PF=PE2,过点Q且垂直于应)的直线交于点

R.证明：RP=RQ.

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5、如图，在锐角△ABC中，ABAC,AH是高，G是重心，P、Q分别是内切圆与边刀B、AC的

切点，M.N分别是线段BP、CQ的中点.设D、E是ZBC内切圆上两点，满足：ZBD+

ZABC=180°ZCE+ZACB=180°.

证明：直线MDNE,GH三线共点.

6、设头数有，%21…，、22两足对任启、1V?V22有2’1V豹V2’.求(工1+%2+…+

%22)(京+j+…+土)的最大值.

7、给定奇素数p和正整数Q、b、m.r其中p\ab,且abm2.证明：至多只有一对正整数

(xy)满足x与y互素，且ax2+by2=mpr.

8、对于平面直角坐标系中任息两点A(^x^fJ/】)、B(乂2无)‘定乂d(4B)=|*i—%21+11—1

maxd（Pi,Pj}

设F1，P2…，「2023是该坐标系中2023个两两不同的点.记4=l＜ZV，＜2023*〃

mind（P仍）

l＜i＜；＜2023

⑴证明：244.

(2)给出一组Fi，P2…，P2023,使得A=44.

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1、【答案】(144)(244)(456)(465)

【解析】设册=表，

则当?12时，xn-xn+1=表土0,

故f*3*4，

不妨设力C,

由条件等式得QbVC,

(1)若b=c,则法=法;，

故2=2b-a-lEz

a

设b=ak(k1)

则k=2ak~a~r》ak—a,BP(a-l)(/c-1)1

由k2知q=1或2均刷=2-2得b=4,

(2)若bc,则

兰v£11+=竺竺①

2a02a+12a+22a+2

n。V4

、¥盘由113153/1

汪息到，Xr=X2=%3=£,X4=X5=—%6=ZZ打，

Zo4dZdZo

、11

ci—1或2则Xjj+xc—~~nXjj―nb—3

24

此时c无解.

33

若。=3贝xb+xc=-^xb―^b=4,

olo