第一章　微点突破1 追及相遇问题.docx

追及相遇问题

目标要求1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧。2.会在图像中分析追及相遇问题。3.熟练运用运动学公式结合运动学图像解决追及相遇的综合问题。

考点一追及相遇问题

追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置。

追及相遇问题的基本物理模型：(以甲追乙为例)

1.二者距离变化与速度大小的关系

(1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲v乙，甲、乙间的距离就不断增大。

(2)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲v乙，甲追上乙前，甲、乙间的距离就不断减小。

2.分析思路

可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”。

(1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点；

(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系。通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口。

3.常见追及情景

(1)初速度小者追初速度大者：当二者速度相等时，二者距离最大。

(2)初速度大者追初速度小者(避碰问题)：二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时追不上，二者之间距离有最小值。

物体甲追赶物体乙：开始时，两个物体相距x0，当v甲＝v乙时，若x甲x乙＋x0，则能追上；若x甲＝x乙＋x0，则恰好追上；若x甲x乙＋x0，则不能追上。

特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。

例1(2025·山东莱西市校考)某一长直的赛道上，一辆赛车前方200m处有一安全车正以10m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2m/s2的加速度追赶。求：

(1)赛车出发3s末的瞬时速度大小；

(2)赛车追上安全车所需的时间及追上时的速度大小；

(3)追上之前两车的最大距离。

答案(1)6m/s(2)20s40m/s(3)225m

解析(1)赛车出发3s末的瞬时速度大小为

v1＝a1t1＝2×3m/s＝6m/s。

(2)设经t2时间追上安全车，由位移关系得

v0t2＋200m＝12a1t22，解得t2＝

此时赛车的速度v＝a1t2＝2×20m/s＝40m/s

(3)方法一物理分析法

当两车速度相等时，两车相距最远

由v0＝a1t3得两车速度相等时，经过的时间

t3＝v0a1＝102

Δs＝v0t3＋200m－12a1

＝(10×5＋200－12×2×52)m＝225m

方法二二次函数法

Δs＝v0t＋200－12a1t2＝10t＋200－t

当t＝-b2a＝-102×(-1)s＝5s时，Δs有极值，相距最远，将t＝5s代入解得Δs

方法三图像法

从图像可知，当赛车速度等于安全车速度时，即v0＝a1t0＝10m/s，得t0＝5s时相距最远，Δsmax＝v0t0－v02t0＋200m＝225

拓展若当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(设两车道平行，赛车可以从安全车旁经过而不相碰，用物理分析法和图像法两种方法解题)

答案20s

解析方法一物理分析法

假设再经t4时间两车第二次相遇(两车一直在运动)，由位移关系得vt4－12a2t42＝v

解得t4＝15s

赛车停下来的时间t＝va2＝404

所以t4＝15s不符合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动

设再经时间t5两车第二次相遇，应满足v22a2＝v0t5，解得t5＝

方法二图像法

赛车和安全车的v－t图像如图。由图知t＝10s，赛车停下时，安全车的位移小于赛车的位移，由v0t5＝v22a2，得t5＝

例2大雾天气，有甲、乙两车在同一平直车道上匀速行驶，甲车在后速度大小v1为14m/s，乙车在前速度大小v2为10m/s，某时刻甲车车头与乙车车尾间的距离为L0＝30.5m，此时乙车突然以大小为1m/s2的加速度a0刹车，经过时间t0甲车车头与乙车车尾间的距离减为L＝14m，为了避免两车相撞，此时甲车也立即刹车做匀减速直线运动，求：

(1)t0的值；

(2)刹车后，甲车做匀减速直线运动的加速度至少多大。

答案(1)3s(2)2.75m/s2

解析(1)在t0时间内，甲、乙两车的位移分别为

x1＝v1t0，x2＝v2t0－12a0

又x1－x2＝L0－L，解得t0＝3s

(2)甲车开始刹车时，

乙车速度为v3＝v2－a0t0＝7m/s

若甲车刹车后经时间t两车速度相等(均为v)，两车恰好避免相撞，则v＝v1－at，v＝v3－a0t

时间t内甲、乙两车的位移分别为

x3＝v1t－12at2，x4＝v3t－12a0

又x3－x4＝L

联立以上各式解得a＝2.75m/s2

即甲车刹车的加速度大小至少为2.75m/s