概率论基础复习课件.pptVIP

*************************************二维随机变量的联合分布联合分布函数二维随机变量(X,Y)的联合分布函数定义为：F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)它表示事件{X≤x,Y≤y}发生的概率，即随机点(X,Y)落入左下象限(-∞,x]×(-∞,y]的概率。联合分布函数完整描述了二维随机变量的概率分布，满足以下性质：0≤F(x,y)≤1F(-∞,y)=F(x,-∞)=0，F(+∞,+∞)=1F(x,y)关于x和y分别单调不减F(x,y)关于x和y分别右连续离散型的联合分布律离散型二维随机变量的联合分布律是指函数p(x,y)=P(X=x,Y=y)，它给出随机点(X,Y)取各种可能值的概率。联合分布律通常用表格表示，满足：对所有(x,y)，p(x,y)≥0∑∑p(x,y)=1，其中求和范围为X和Y的所有可能取值联合分布函数可以通过联合分布律计算：F(x,y)=∑∑p(s,t)，其中求和范围为s≤x且t≤y的所有(s,t)值。连续型二维随机变量的联合密度函数f(x,y)满足F(x,y)=∫_(-∞)^x∫_(-∞)^yf(s,t)dtds，且f(x,y)=?2F(x,y)/?x?y（在偏导数存在处）。对任意平面区域D，有P((X,Y)∈D)=∫∫_Df(x,y)dxdy。边缘分布X\Yy?y?y?p_X(x)x?0.10.20.10.4x?0.30.10.20.6p_Y(y)0.40.30.31边缘分布是指从二维随机变量(X,Y)的联合分布中导出的单个随机变量X或Y的分布。边缘分布函数可以直接从联合分布函数得到：F_X(x)=P(X≤x)=P(X≤x,Y+∞)=F(x,+∞)F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X+∞,Y≤y)=F(+∞,y)对于离散型二维随机变量，边缘分布律通过联合分布律的求和得到：p_X(x)=P(X=x)=∑_yp(x,y)p_Y(y)=P(Y=y)=∑_xp(x,y)对于连续型二维随机变量，边缘密度函数通过联合密度函数的积分得到：f_X(x)=∫_(-∞)^(+∞)f(x,y)dyf_Y(y)=∫_(-∞)^(+∞)f(x,y)dx条件分布离散型的条件分布对于离散型二维随机变量(X,Y)，已知Y=y，X的条件分布律定义为：P(X=x|Y=y)=P(X=x,Y=y)/P(Y=y)=p(x,y)/p_Y(y)其中p_Y(y)0。类似地，已知X=x，Y的条件分布律为：P(Y=y|X=x)=p(x,y)/p_X(x)其中p_X(x)0。条件分布律满足非负性和归一性，即∑_xP(X=x|Y=y)=1。连续型的条件分布对于连续型二维随机变量(X,Y)，已知Y=y，X的条件密度函数定义为：f_X(x|Y=y)=f(x,y)/f_Y(y)其中f_Y(y)0。类似地，已知X=x，Y的条件密度函数为：f_Y(y|X=x)=f(x,y)/f_X(x)其中f_X(x)0。条件密度函数满足非负性和归一性，即∫_(-∞)^(+∞)f_X(x|Y=y)dx=1。条件分布描述了在给定一个随机变量取值的条件下，另一个随机变量的分布规律。它是研究随机变量之间相互依赖关系的重要工具，在统计推断、回归分析、贝叶斯分析等领域有广泛应用。条件分布也是理解随机变量独立性的关键：X和Y独立当且仅当X在给定Y任意值的条件下的分布与X的边缘分布相同。随机变量的独立性定义若对任意x,y，有F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)，则称X,Y相互独立2离散型的判断当且仅当对任意x,y，有p(x,y)=p_X(x)p_Y(y)3连续型的判断当且仅当对任意x,y，有f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)随机变量的独立性是概率论中的核心概念，它表明随机变量之间没有依赖关系，一个变量取值的信息不会改变对另一个变量分布的认识。从条件分布角度看，X和Y独立当且仅当对任意y，有f_X(x|Y=y)=f_X(x)，或对任意x，有f_Y(y|X=x)=f_Y(y)。独立性具有重要性质：若X和Y独立，则g(X)和h(Y)也独立，其中g和h是任意函数；独立随机变量的函数的数学期望满足E[g(X)h(Y)]=E[g(X)]E[h(Y)]；独立随机变量的和的分布可以通过卷积计算。这些性质使得独立性在概率论的理论分析和应用中占据核心地位。二维正态分布定义二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为特定形式的指数函数，包含五个参数1参数含义μ?,μ?为