等比数列前项和.ppt

关于等比数列前项和第1页，共36页，星期日，2025年，2月5日回顾旧知1.等比数列{an}的通项公式：注意：当q=1时，等比数列{an}为常数列.2.求等比数列通项公式的方法：观察归纳法、累乘法。3.回想一下解等比数列题的一些技巧与方法.第2页，共36页，星期日，2025年，2月5日国际象棋起源于古印度，关于国际象棋还有一个传说。国王奖赏发明者，问他有什么要求，他答道：“在棋盘第一个格放1颗麦粒，在第二个格放2颗麦粒，在第三个格放4颗麦粒，在第四个格放8颗麦粒。以此类推，每个格子放的麦粒数是前一个格子的2倍，直到64个格子。国王觉得这太容易了，就欣然答应了他的要求，你认为国王能满足他的要求吗？新课导入设问：同学们，你们知道他要的是多少小麦吗？第3页，共36页，星期日，2025年，2月5日1+2+4+8+…+263=18446744073709551615（粒）已知麦子每千粒约为40克，则折合约为737869762948382064克≈7378.7亿吨.经过计算，我们得到麦粒总数是那么这是怎么计算的呢？其实是一个比较大小的问题，则实质上是求等比数列前n项和的问题.第4页，共36页，星期日，2025年，2月5日探讨问题发明者要求的麦粒总数是：S64=1+2+22+23+…+263①上式有何特点？如果①式两端同时乘以2得:2S64=2+22+23+…+263+264②比较①、②两式，有什么关系呢？第5页，共36页，星期日，2025年，2月5日S64=1+2+22+23+…+263①2S64=2+22+23+…+263+264②两式上下相对的项完全相同，把两式相减，就可以消去相同的项，则②－①得：S64=264-1=18446744073709551615设问：纵观全过程，①式两边为什么要乘以2呢？第6页，共36页，星期日，2025年，2月5日等比数列前n项和公式及推导在等比数列{an}中首先要考虑两种情况：当q≠1时，Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an=？我们视目以待，看接下来的解答:当q=1时，Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an=a1+a1+a1+……+a1+a1=na1共n个a1设等比数列，首项为,公比为如何求前n项和？第7页，共36页，星期日，2025年，2月5日S1=a1S2=a1+a2=a1+a1q=a1(1+q)S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2)S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3=a1(1+q+q2+q3)分析：第8页，共36页，星期日，2025年，2月5日Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1①qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn②①-②得：Sn(1—q)=a1—a1qn这就是乘公比错位相减法求和当q≠1时，第9页，共36页，星期日，2025年，2月5日则等比数列{an}前n项和公式为Sn=na1q=1q≠1注意点1.注意q=1与q≠1两种情况.2.q≠1时，第10页，共36页，星期日，2025年，2月5日通过上面的讲解，对于等差数列的相关量a1、d、n、an、sn，一般确定几个量就可以确定其他量？a1、an、nan、sna1、d、ana1、d、na1、an、snan、d、nan、sn、nn、snd、snd、na1、sna1、d第11页，共36页，星期日，2025年，2月5日例1等比数列{an}的公比q=，a8=1，求它的前8项和S8.解法1：因为a8=a1q7，所以因此这是公式法求和第12页，共36页，星期日，2025年，2月5日解法2：把原数列的第8项当作第一项，第1项当作第8项，即顺序颠倒，也得到一个等比数列{bn}，其中b1=a8=1，q=2，所以前8项和第13页，共36页，星期日，2025年，2月5日求和个分析：数列9，99，9