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2025北京二中高一(下)段考四
数学
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的,请将答案填在答题纸上)
1.已知集合,,则等于()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数的值域,结合集合的交集,可得答案.
【详解】由,则.
故选:A.
2.已知向量,,则的坐标为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算直接求解即可
【详解】,,∴.
故选:B.
3.已知向量,若,则实数()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量共线的坐标表示形式,可直接得到值.
【详解】因为向量,且,
所以,解得,
故选:A.
4.已知向量,,若,则的值为()
A. B. C. D.10
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂直向量的坐标表示,可得答案.
【详解】由题意可得,解得.
故选:B.
5.将函数的图像上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍长度,再向右平移个单位长度,所得到的图像解析式是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】函数的图像上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍长度,得,
再向右平移个单位长度,所得到的图像解析式是,
故选:B.
6.在中,,,所对的边分别为,,,已知,,,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】利用余弦定理求得a,再利用正弦定理即得结果.
【详解】由余弦定理:,得,
由正弦定理:.
故选A
【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理公式的应用,属于基础题型.
7.若实数,满足,,则“”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【详解】构造函数,故函数在上单调递增,即由“”可得到“”,反之,由“”亦可得到“”
选C
8.若非零向量与满足,且,则为()
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.底边和腰不相等的等腰三角形
D.等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可得的角平分线与BC垂直,可分析出是等腰三角形,根据数量积公式可求角A,即可判断.
【详解】因为分别为与同向的单位向量,
因为,可知的角平分线与BC垂直,则,
又因为,即,
且,则,所以是等边三角形.
故选:D.
9.在中,角所对的边分别为,表示的面积,若,,则等于()
A.90° B.60°
C.45° D.30°
【答案】C
【解析】
【详解】由和正弦定理,得,
即,即,,则由,得,即;故选C.
10.已知是边长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件建立坐标系,求出点的坐标,利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可.
【详解】建立如图所示的坐标系,以中点为坐标原点,
则,,,
设,则,,,
则
当,时,取得最小值,
故选:.
11.若均为单位向量,且,,则的最大值为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数量积运算律化简得出,再根据数量积求解模长的最大值即可.
【详解】因为?均为单位向量,且,
因为,所以,
所以,
则.
则的最大值为.
故选:B.
12.在坐标平面内,横、纵坐标均为整数的点称为整点.点从原点出发,在坐标平面内跳跃行进,每次跳跃的长度都是且落在整点处.则点到达点所跳跃次数的最小值是()
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意,结合向量分析运算,列出方程求解,即可得到结果.
【详解】每次跳跃的路径对应的向量为,
因为求跳跃次数的最小值,则只取,
设对应的跳跃次数分别为,其中,
可得
则,两式相加可得,
因为,则或,
当时,则次数为;
当,则次数为;
综上所述:次数最小值为10.
故选:B.
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.请将答案填在答题纸上)
13.已知,,则实数___________.
【答案】
【解析】
【分析】将代入中,整理即可求解.
【详解】由题,因为,
所以,即,
所以,
故答案为:
14.在?中,,?,且?的面积为?,则边长?为_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理角化边和三角形面积公式可构造方程求得,利用余弦定理可求得结果.
详解】由正弦定理得:,
,,即,解得:,,
由余弦定理得:,.
故答案为:.
15.已知函数,方程在内解的个数为________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据给
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