2018-2019学年高中一轮复习理数第三章导数及其应用.doc

第三章导数及其应用

第一节导数的概念及导数的运算

本节主要包括2个知识点：

1.导数的概念及运算；

2.导数的几何意义.

突破点(一)导数的概念及运算

基础联通

抓主干知识的“源”与“流”

1．瞬时速度和瞬时加速度

(1)瞬时速度：对于t∈[t0，t0＋Δt]时的平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)，当Δt→0时，eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)趋近于一个常数，这个常数就是t＝t0的瞬时速度．

(2)瞬时加速度：对于t∈[t0，t0＋Δt]时的平均加速度eq\x\to(a)＝eq\f(Δv,Δt)，当Δt→0时，eq\x\to(a)＝eq\f(Δv,Δt)趋近于一个常数，这个常数就是t＝t0的瞬时加速度．

2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．

3．函数f(x)的导函数

若函数y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．

4．基本初等函数的求导公式

原函数

xα

ax(a＞0，且a≠1)

logax(a＞0，且a≠1)

ex

lnx

sinx

cosx

导函数

αxα－1

axln_a

eq\f(1,xlna)

ex

eq\f(1,x)

cosx

－sin_x

5.导数运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)[Cf(x)]′＝Cf′(x)(C为常数)；

(4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f?x?,g?x?)))′＝eq\f(f′?x?g?x?－f?x?g′?x?,[g?x?]2)(g(x)≠0)．

考点贯通

抓高考命题的“形”与“神”

已知函数的解析式求导数

[例1]求下列函数的导数：

(1)y＝(1－eq\r(x))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,\r(x))))；

(2)y＝eq\f(lnx,x)；

(3)y＝tanx；

(4)y＝3xex－2x＋e.

[解](1)∵y＝(1－eq\r(x))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,\r(x))))＝eq\f(1,\r(x))－eq\r(x)＝x－x，

∴y′＝(x)′－(x)′＝－eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)x.

(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,x)))′＝eq\f(?lnx?′x－x′lnx,x2)

＝eq\f(\f(1,x)·x－lnx,x2)

＝eq\f(1－lnx,x2).

(3)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,cosx)))′＝eq\f(?sinx?′cosx－sinx?cosx?′,cos2x)

＝eq\f(cosxcosx－sinx?－sinx?,cos2x)

＝eq\f(1,cos2x).

(4)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′

＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′

＝3x(ln3)·ex＋3xex－2xln2

＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.

[方法技巧]

导数的运算方法

(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．

(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．

(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．

(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．

(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．

导数运算的应用

[例2](1)(2017·济宁二模)已知函数f(x)＝x(2017＋lnx)，f′(x0)＝2018，则x0＝________.

(2)已知f(x)＝eq\f(1,2)x2＋2xf′(2017)＋2017lnx，则f′(1)＝________.

[解析](1)由题意可知f′(x)＝2017＋lnx＋x·eq\f(1,x)＝2018＋lnx．由f′(x0)＝2018，得lnx0＝0，解得x0＝1.

(2)由题意得f′(x)＝x＋2f′(2017)＋eq\f