（人教2019版）数学选修三 6.3 二项式定理 大单元教学设计.docx

6.3二项式定理（单元教学设计）

一、【单元目标】

（1）能用计数原理证明二项式定理．

（2）掌握二项式定理及其展开式的通项公式．

（3）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

（4）1．理解二项式系数的性质并灵活运用．

二、【单元知识结构框架】

三、【学情分析】

本节课面对的学生已经具备了一定的数学基础，他们掌握了多项式乘法法则，对排列组合知识也有所了解，并具备一定的归纳推理、分析问题、转化问题的能力．然而，二项式定理对于他们来说是一个新的知识点，其中的二项式系数和展开式的结构特点可能需要一些时间去理解和消化．部分学生可能在区分二项式系数和某一项的系数上存在困难，或者在应用二项式定理解决实际问题时感到迷茫．因此，在教学过程中，需要注重引导，通过例题和练习帮助学生逐步掌握和应用二项式定理．

四、【教学设计思路/过程】

课时安排：约2课时

教学重点：（1）用多项式运算法则和计数原理推导出二项式定理，并会用它解决有关的简单问题；

（2）二项展开式的通项及应用．

教学难点：用计数原理推导二项式定理；二项展开式的通项及应用．

教学方法/过程：

五、【教学问题诊断分析】

环节一、情景引入，温故知新

情景：英国科学家艾萨克·牛顿（IsaacNewton，1643－1727）被誉为人类历史上最伟大的科学家之一．他不仅是一位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家．1664年冬，由于瘟疫流行迫使牛顿从剑桥回到乡下，研读沃利斯博士的《无穷算术》，牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立了二项式定理．那么，牛顿是如何思考的呢？

环节二、抽象概念，内涵辨析

1．二项式定理的正用与逆用

问题1：在初中，我们用多项式乘法法则得到了的展开式：．如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程呢?

【破解方法】从上述过程可以看到，是2个相乘，根据多项式乘法法则，每个在相乘时有两种选择，选或选，而且每个中的或都选定后，才能得到展开式的一项．于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，的展开式共有项，而且每一项都是的形式．而且相当于从2个中取个的组合数．

问题2：你能写出的展开式吗?为了能快速写出的展开式，你觉得应该做怎样的探究?

【破解方法】从两个熟知的二项展开式和出发，通过较难展开的二项式来设置悬疑，激发学生的探究欲望．通过教师讲解，指明探究的思想方法，并且强调用一般性的眼光看待具体实例，以增强发现运算规律的可能性．

【归纳新知】

（1）定义

一般地，对于任意正整数，都有：

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．

式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数

（2）二项式的展开式的特点：

①项数：共有项，比二项式的次数大1；

②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；

③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列，次数从0到，每一项中，a，b次数和均为；

（3）二项展开式的通顶公式

二项展开式的通项：

公式特点：

①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；

②字母的次数和组合数的上标相同；

2．二顶式系数及其性质

问题3：根据二项式定理写出的展开式的二项式系数．可以写成如下形式，则第7行的数字分别是多少？

【破解方法】1，7，21，35，35，21，7，1．

【归纳新知】

二顶式系数及其性质

（1）的展开式中各项的二顶式系数、、…具有如下性质：

①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离的两项的二项式系数相等，即；

②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数相等，且最大．

③各二项式系数之和为，即；

④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即．

知识点诠释：

二项式系数与展开式的系数的区别

二项展开式中，第项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等．

（2）展开式中的系数求法的整数且

知识点诠释：

三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决．

环节三：例题练习，巩固理解

题型一：二项式定理的正用、逆用

【例1】求的展开式．

【解析】根据二项式定理，

．

【变式1-1】（1）求的展开式的前4项；

（2）求的展开式的第8项；

（3）求的展开式的中间一项；

（4）求的展开式的中间两项．

【解析】（1）的展开式的第项为．

所以，，，．

（2）的展开式的第项为

当时，

（3）的展开式的第项为，展开式共有13项．

其中间一项为第7项．

当时，．

（4）的展开式的第项为，展开式共有16项．其中间两项为第8、第9项．

当时，

当时，

【