（人教2019版）数学选修三 7.1 条件概率与全概率公式 大单元教学设计.docx

7．1条件概率与全概率公式（单元教学设计）

一、【单元目标】

（1）使学生了解条件概率及全概率公式的概念及其应用场景．

（2）掌握条件概率和全概率公式的计算方法．

（3）能够运用条件概率和全概率公式解决实际问题，提高数学思维和问题解决能力．

二、【单元知识结构框架】

三、【学情分析】

本节课面对的学生已经具备了一定的概率基础知识，对随机事件、概率计算等概念有所了解．然而，条件概率与全概率公式是相对抽象且较难理解的内容，学生可能会在计算和应用方面遇到困难．部分学生可能对于条件概率的“条件”理解不够深入，容易混淆条件概率与一般概率．因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解条件概率的含义，通过实例演示和练习，帮助学生掌握条件概率和全概率公式的计算方法，并培养他们的实际应用能力，确保学生能够灵活运用所学知识解决实际问题．

四、【教学设计思路/过程】

课时安排：2课时

教学重点：条件概率与概率的乘法公式、全概率公式；用条件概率、概率乘法公式、全概率公式解决实际问题的概率问题．

教学难点：对条件概率中条件的正确理解，及乘法公式和全概率公式的应用．

教学方法/过程：

五、【教学问题诊断分析】

环节一、情景引入，温故知新

情景：集市上，有这样一个游戏很受孩子们的喜欢，游戏规则是：

袋中有两个球，一个白球，一个黑球，从袋中每次随机摸出1个球，现有两种方案：

（1）若两次都取到黑球，摊主送给摸球者10元钱，否则摸球者付给摊主5元钱；

（2）若已知第一次取到黑球的条件下，第二次也取到黑球，摊主送给摸球者10元钱，否则摸球者付给摊主5元钱．你觉得这个游戏公平吗？摊主会不会赔钱？

环节二、抽象概念，内涵辨析

1．条件概率的理解

问题1：抛掷一枚质地均匀的硬币两次．

（1）两次都是正面向上的概率是多少？

（2）在已知有一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是多少？

（3）在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？

【破解方法】（1）两次抛掷硬币，试验结果的样本点组成样本空间正正，正反，反正，反反}，其中两次都是正面向上的事件记为，则正正，故．

（2）将两次试验中有一次正面向上的事件记为，则正正，正反，反正，那么，在发生的条件下，发生的概率为．在事件发生的条件下，事件发生的概率产生了变化．

（3）将第一次出现正面向上的事件记为，则正正，正反，那么，在发生的条件下，发生的概率为．在事件发生的条件下，事件发生的概率产生了变化．

【归纳新知】

（1）条件概率的概念

一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率．

2．全概率公式

问题2：从有个红球和个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．显然，第1次摸到红球的概率为．那么第2次摸到红球的概率是多大?如何计算这个概率呢?

【破解方法】因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是，但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响．下面我们给出严格的推导．

用表示事件“第次摸到红球”，表示事件“第次摸到蓝球”，．如图所示．

事件可按第1次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的并，

即

利用概率的加法公式和乘法公式，

得

【归纳新知】

全概率公式

（1）；

（2）定理：若样本空间中的事件，，…，满足：

①任意两个事件均互斥，即，，；

②；

③，．

则对中的任意事件，都有，且

．

注意：①全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题．

②什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式．

贝叶斯公式

（1）一般地，当且时，有

（2）定理若样本空间中的事件满足：

①任意两个事件均互斥，即，，；

②；

③，．

则对中的任意概率非零的事件，都有，

且

注意：①在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率．

②贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系．

3．概率的乘法公式

问题3：三张奖券中只有一张能中奖，现分别由甲、乙两名同学有放回地抽取，事件为“甲没有抽到中奖奖券”，事件为“乙抽到中奖奖券”，事件的发生会不会影响事件发生的概率?与有什么关系?

【破解方法】不会，事件与事件是相互独立事件；有放回地抽取奖券时，乙也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此．

【归纳新知】

概率的乘法公式

由条件概率的定义，对任意两个事件