苏科版数学八上同步讲练专题3.3 勾股定理的简单应用（原卷版）.doc

专题3.3勾股定理的简单应用

【教学目标】

1、能应用勾股定理解决一些简单的实际问题；

2、学会选择适当的数学模型解决实际问题。

【教学重难点】

1、应用勾股定理解决实际问题；

2、把实际问题化归成勾股定理的几何模型（直角三角形）；

【知识亮解】

勾股定理的应用

勾股定理的作用

1、已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；

2、用于解决带有平方关系的证明问题；

3、与勾股定理有关的面积计算；

4、勾股定理在实际生活中的应用．

亮题一：勾股定理的证明

【方法点拨】勾股定理又称为毕达哥拉斯定理，通常利用面积来证明.

【例1】★下列两图均由四个全等的直角三角形拼接而成，且它们的两条直角边分别为，，斜边为，．请选择一个你喜欢的图形，利用等面积法验证勾股定理．你选择的是图，写出你的验证过程．

【例2】★如图图中，不能用来证明勾股定理的是（）

A.B.C.D.

【例3】★★勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下

如图（1）∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2

证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF=b-a。

S四边形ADCB=，

S四边形ADCB=，

∴，化简得：a2+b2=c2

请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明，如图（2）中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2

亮题二：利用勾股定理解折叠问题

【例1】★如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，将纸片沿折叠，直角边恰好落在斜边上，且与重合，求的面积．

【例5】★如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，求BE的长．

亮题三：利用勾股定理求最短路径

【方法点拨】解决此类问题需先将立体图形进行展开，在平面上利用两点之间线段最短作图，利用勾股定理求解.

【例1】★如图，一圆柱高为，底面周长是，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，且，则最短路线长为

A． B． C． D．

【例2】★如图，有两棵树，一棵树高8m，另一棵树高3m，两树相距12m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）

A．12m B．14m C．13m D．15m

【例3】★如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要米。

A．4 B．8 C．9 D．7

【例4】★如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）

A3 B.+2 C. D.4

【例5】★如图，在长、宽都为3cm，高为8cm的长方体纸盒的A处有一粒米粒，一只蚂蚁在B处去觅食，那么它所行的最短路线的长是（）

A.（3+8）cm B.10cm C.8cm D.无法确定

【例6】★★如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为________?cm．

亮题四：勾股定理的实际应用

【方法点拨】将实际问题转化为直角三角形，利用勾股定理求解即可.

【例1】★数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？

【例2】★如图，大小两猴在树上的点A处戏耍，在距离树的底部B20米的C处有一水池，它们准备到水池里喝水，大猴从树上滑下走到池边，小猴则爬高5米到树的顶端D处后直接跃入池中，如果两猴经过的路程相同，求其树高BD.

【例3】★如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的莲花，它高出水面30cm．突然一阵大风吹过，莲花被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道莲花移动的水平距离为60cm，则水深是()

A．35cm B．40cm C．50cm D