弦切角定理及推论.pdf

弦切角定义

顶点在圆上，一边和圆相交，另

图示

一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直

线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都为弦切角。

弦切角定理

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理

证明：证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。∵∠TCB=90-∠OCB

∵∠BOC=180-2∠OCB∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧

所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（圆心角等于圆周角的两倍）

∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC

是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：（弦

切角定理）证明：分三种情况：

（1）圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴

弧CmA=弧CA∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角

B点应在A点左侧

（2）圆O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的

劣弧上有一点E那么，连接EC、ED、EA则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

∴∠CEA=∠CAB∴（弦切角定理）

（3）圆O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D那么

∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90∴∠CDA=∠CAB∴（弦切角定理）

弦切角推论

推论内容

若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等

应用举例

例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60°,

AB=a求BC长.解：连结OA，OB.∵在Rt△ABC中,∠C=90∴∠BAC=30°

∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半）

例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与

AB，AC分别相交于E，F.求证：EF∥BC.证明：连DF.AD是∠BAC的平

分线∠BAD=∠DAC∠EFD=∠BAD∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D

∠FDC=∠DAC∠EFD=∠FDCEF∥BC

例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求

证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90

∵CD⊥AB∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C∴∠MCA=∠B，

∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD.