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*优化模型与软件工具

数学规划软件清华大学经济管理学院管理科学与工程系*线性规划求解线性规划模型的历史*010402031947年单纯形方法问世，手工计算工作量巨大，第一个有实用价值的线性规划模型只有9个约束，77个变量，花了120人日计算出结果；50年代：出现第一个求解线性规划软件，受计算机限制，只能求解100个变量的线性规划问题；60年代：出现商用线性规划软件，在IBM计算机上可求解上千个变量问题；70年代：许多大型计算机提供商用数学规划软件，如MPS/X，FMPS等，可求解有上万个变量和约束的问题，并有相应的模型数据处理系统，如MG，RG等。求解线性规划模型的历史*内点法问世，新软件出现，如CPLEX，OSL等；出现较完整的模型构造求解系统：GAMS，AMPL等80年代：计算机硬件、软件技术进步加快，求解模型的规模又上升一个数量级01出现了基于WINDOWS平台的应用系统IT与OR的集成，出现集信息采集、存储、分析、优化于一体的综合决策支持系统；可求解有上千万变量的超大型数学模型；典型应用：金融、航空、通讯、能源、军事等领域90年代：信息技术时代，运筹学与信息技术的融合02线性规划软件的进步（一）*1991年Schultz和Pulleyblank的试验：软件：MPSMPSOSLOSLOSL版本：v1.6v2.0Prim-1Dual-1Dual-2年代：19701988199319931993迭代：3023574885836050114104982时间：5508224114问题：4422约束，6711个变量，110342非零元线性规划软件的进步（二）*2003年Bixby的试验（CPLEX）求解的模型－生产计划模型，有401,640个约束、1,584,000个变量、9,498,000个非零元；求解时间(2.0GHzP4计算机):1988(CPLEX1.0): 29.8days 11997(CPLEX5.0): 1.5hours 1/4802003(CPLEX9.0): 59.1seconds 1/44000……求解线性规划综合速度的提高*算法（与计算机无关）: 2360倍计算机（工作站?PCs） 800倍算法×计算机 190万倍摩尔定律预测计算机速度每18个月提高一倍：从1988至2003共15年应提高1024倍；1988?2003求解LP的综合速度提高了多少？011988年需要80年1997年需要24小时2003年需要1分钟求解前面的生产计划模型02线性规划软件的进步*是什么因素使线性规划求解效率有了如此长足的进步呢，著名线性规划软件CPLEX的主要设计者Bixby总结了以下几方面的的进展：处理稀疏矩阵的数据结构线性规划问题的预处理初始基的选择转轴规则的选择：最速边下降法，对偶方法；基的LU分解与乘积形式：分解稳定性，减少非零元素的增长速度，提高计算精度；单纯形方法的计算效率*人们一直试图证明单纯形方法是一种多项式算法；011972年Klee与Minty出人意料的给出一个反例，证明单纯形算法不是多项式算法；01该问题共有2n个极点，需要2n-1次迭代才能找到最优解；01求解线性规划的多项式方法*单纯形方法是统计意义上的多项式方法1981年Borgwardt在大量实验的基础上指出：单纯形迭代次数的数学期望不会高于O(n4m)前苏联数学家Xachiyan于1979年提出求解“线性严格不等式组”的椭球算法。与求解线性规划问题等价，证明是多项式算法计算效率根本无法与单纯形方法相比美籍印度裔数学家Karmarkar于1984年提出求解线性规划的内点法；可行域内部的有哪些信誉好的足球投注网站方法，计算效率高单纯形方法与内点法的竞赛*美国ATT贝尔实验室的Monma等人1987年发表实验报告，他们对31个实验问题的求解，所使用的内点算法3倍高于基于单纯形算法的MINOS；01Karmarkar1993年发表的实验结果表明对一些大规模的问题内点法比单纯形方法快80