2025年中考数学复习--二次函数相等角存在性问题.docx

二次函数相等角存在性问题

1如图,已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2

(1)求抛物线解析式；

(2)在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；

(3)在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC?若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由.

2如图，已知：抛物线y=x2+bx+c与直线l交于点

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线上找一点P，使△ACP的内心在x轴上，求点P的坐标；

(3)M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N，连接BM.在(2)的条件下，是否存在点M，使∠MBN=∠APC?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

3.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=?12x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为(

(1)求抛物线的解析式；

(2)直线AD与y轴负半轴交于点D，且.∠BAO=∠DAO,求证：OB=OD;

(3)在(2)的条件下，若直线AD与抛物线的对称轴1交于点E，连接BE，在第一象限内的抛物线上是否存在一点P，使四边形BEAP的面积最大?若存在，请求出点P的坐标及四边形BEAP面积的最大值；若不存在，请说明理由.

4如图，抛物线y=ax

(1)求抛物线所对应的函数表达式；

(2)当△BCD的面积为3时，求点D的坐标；

(3)过点D作DE⊥BC，垂足为点E，是否存在点D，使得△CDE中的某个角等于∠ABC的2倍?若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由.

5如图，已知二次函数y=?x2

学习笔记:

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线上是否存在点P，使∠PAB=∠ABC,若存在请直接写出点P的坐标.若不存在，请说明理由.

6已知，抛物线y=ax

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点P位于第四象限时,连接AC,BC,PC,若∠PCB=∠ACO,求直线PC的解析式；

(3)如图2，当点P位于第二象限时，过P点作直线AP，BP分别交y轴于E，F两点，请问CECF

7如图，已知抛物线y=ax

(1)求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；

(2)F(x,y)是抛物线上的动点:

①当x1,y0时，求△BDF的面积的最大值；

②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标.

8如图，直线y=?x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=?x

(1)求抛物线的解析式；

(2)在x轴上找一点E,使EC+ED的值最小,求EC+ED的最小值;

(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB=∠OCB?若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

9如图，二次函数y=x

(1)填空:b=_;

(2)点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q.若∠CQD=∠ACB,求点P的坐标；

(3)点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG.当点F在x轴上时，直接写出AG的长.

10如图，已知抛物线y=ax

(1)求该抛物线的表达式；

(2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合)，设点P的横坐标为t.

①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；

②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD?若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

1解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),将C(0,1)代入得-3a=1,解得:a=?13,

(2)如图,过点P作PD⊥x,交BC于点D.

设直线BC的解析式为y=kx+b，则{3k+b=0b=1解得：k=?13,∴直线BC的解析式为y=?1

∴PD=??1

=?12x

整理得：x2

∴点P的坐标为(1,43

(3)存在.作△ABC的外接圆E，与x轴下方对称轴的交点就是所求的Q点，连接QC、BQ，弦BC所对的圆周角相等,即∠BQC=∠BAC.

∵A(-1,0),C(0,1),∴OC=OA=1

∴∠BAC=45°.

∵∠BQC=∠BAC=45°,则∠CEB=90°.

设⊙E的半径为x,即CE=BE=QE=x,

则在Rt△CEB中，由勾股定理可知(C

即2x2=10,解得：

∵AC的垂直平分线的为直线y=-x，AB的垂直平分线为直线x=1,

∴点E为直线y=-x与x=1的交点,即E(1,-1),

∴Q的坐标为1

2解:(1)把点A(-1,0),C(2,-3)代入y=x2+bx+c,

解得{b=?2c=?3,

(2)作点C关于x轴的对称