2024_2025年高中数学第三章直线与方程1.2两条直线平行与垂直的判定5教案新人教版必修2.docVIP

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两条直线的平行与垂直

教学目标

(一)学问教学

理解并驾驭两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.

(二)实力训练

通过探究两直线平行或垂直的条件，培育学生运用已有学问解决新问题的实力,以及数形结合实力．

(三)学科渗透

通过对两直线平行与垂直的位置关系的探讨，培育学生的胜利意识，合作沟通的学习方式,激发学生的学习爱好．

重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能娴熟驾驭，并敏捷运用．

难点：启发学生,把探讨两条直线的平行或垂直问题,转化为探讨两条直线的斜率的关系问题．

留意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的状况,在课堂上老师应提示学生留意解决好这个问题．

教学过程

(一)先探讨特别状况下的两条直线平行与垂直

上一节课,我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念,而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度,并推导出了斜率的坐标计算公式.现在,我们来探讨能否通过两条直线的斜率来推断两条直线的平行或垂直．

探讨:两条直线中有一条直线没有斜率,(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们相互平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线相互垂直．

(二)两条直线的斜率都存在时,两直线的平行与垂直

设直线L1和L2的斜率分别为k1和k2.我们知道,两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向确定的,而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率确定的.所以我们下面要探讨的问题是:两条相互平行或垂直的直线,它们的斜率有什么关系?

首先探讨两条直线相互平行(不重合)的情形．假如L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助计算机,让学生通过度量,感知α1,α2的关系)

∴tgα1=tgα2．

即k1=k2．

反过来，假如两条直线的斜率相等:即k1=k2，那么tgα1=tgα2．

由于0°≤α1＜180°，0°≤α＜180°，

∴α1=α2．

又∵两条直线不重合，

∴L1∥L2．

结论:两条直线都有斜率而且不重合，假如它们平行，那么它们的斜率相等；反之，假如它们的斜率相等，那么它们平行，即

留意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即假如k1=k2,那么肯定有L1∥L2;反之则不肯定.

下面我们探讨两条直线垂直的情形．

假如L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．

设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种状况下都有

α1=90°+α2．

因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．

，

可以推出:α1=90°+α2．L1⊥L2．

结论:两条直线都有斜率，假如它们相互垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，假如它们的斜率互为负倒数，那么它们相互垂直，即

留意:结论成立的条件.即假如k1·k2=-1,那么肯定有L1⊥L2;反之则不肯定.

(借助计算机,让学生通过度量,感知k1,k2的关系,并使L1(或L2)转动起来,但仍保持L1⊥L2,视察k1,k2的关系,得到猜想,再加以验证.转动时,可使α1为锐角,钝角等).

例题

例1已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2),试推断直线BA与PQ的位置关系,并证明你的结论.

分析:借助计算机作图,通过视察猜想:BA∥PQ,再通过计算加以验证.(图略)

解:直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,

直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,

因为k1=k2=0.5,所以直线BA∥PQ.

例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试推断四边形ABCD的形态,并给出证明.(借助计算机作图,通过视察猜想:四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证)

解同上.

已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(-2,6),试推断直线AB与PQ的位置关系.

解:直线AB的斜率k1=(6-0)/(3-(-6))=2/3,

直线PQ的斜率k2=(6-3)(-2-0)=-3/2,

因为k1·k2=-