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高中数学集合相关易错题点评

集合是数学的最原始概念之一，它涉及带中学数学的各个章节，稍不注意，就会出错，本文试加以归类：

一、符号意义不清：常见

例1在给定下面关系式中，正确的选项是__〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕________。

〔1〕〔2〕〔3〕{}〔4〕{}〔5〕{}

例2集合A={1,2},B={x∣xA},问集合A和B的关系。

错解AB(AB)

正解xB,xA,B中的元素是集合。又A的子集有，{1}，{2}，{1，2}，

集合B={，{1}，{2}，{1，2}}。集合B的元素是集合，集合A虽是集合，但在此题中A是B的元素，所以AB

二、无视：漏特例

例A={x∣x2-2x-3=0},B={x∣ax-1=0},BA,求a

错解A={3,-1},B={},从而a=或-1。

正解B时，得a=或-1。B=时，得a=0

三、无视互异性；致增解。

例A={1,4,a},B={1,a},BA,求a。

错解a=4或a=a,得a=2或a=0或a=1

正解a=1应舍去。

四、无视隐含条件，导致结果错误

例1求函数y=的值域

错解〔用判别式法〕

将原函数变形得：(y-1)x2+(y-4)x-3(2y+1)=0①

当y=1时，①式化为–3x=9,有解x=3;

当y≠1时，∵①式中x∈R

∴△=(y-1)2+4×3(y-1)(2y+1)≥0

即：25y2-20y+4≥0,解这个不等式得y∈R

综上：原函数值域为：y∈R

分析没有注意定义域对值域的影响，扩大了y的取值范围。

事实上，原函数要有意义，必须有：x2+x-6≠0即x≠2且x≠-3,在此前提下，原函数可化为：y==(y-1)x=2y+1

∴y≠1且x=≠-3解得y≠1且y≠

∴原函数值域为：y∈(-∞,)∪(,1)∪(1,+∞)

例2(x+2)2+=1,求x2+y2的取值范围。

错解由得y2=-4x2-16x-12，

因此x2+y2=-3x2-16x-12=-3(x+)2+

∴当x=-时，x2+y2有最大值

即x2+y2的取值范围是(-∞,]

分析没有注意x的取值范围要受条件的限制，丢掉了最小值。事实上，由于(x+2)2+=1得(x+2)2=1-≤1，∴-3≤x≤-1从而当x=-1时x2+y2有最小值1。x2+y2的取值范围是[1,]

无视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。

例3：a0,b0,a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。

错解(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4

≥2ab++4≥4+4=8

∴(a+)2+(b+)2的最小值是8

分析上面的解答中，两次用到了根本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。

事实上，原式=a2+b2+++4=(a2+b2)+(+)+4

=[(a+b)2-2ab]+[(+)2-]+4

=(1-2ab)(1+)+4

由ab≤()2=得：1-2ab≥1-=,且≥16，1+≥17

∴原式≥×17+4=(当且仅当a=b=时，等号成立)

∴(a+)2+(b+)2的最小值是。

例4甲、乙两地相距skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ckm/h,汽车每小时的运输本钱〔以元为单位〕由可变局部和固定局部组成：可变局部与速度v〔km/h〕的平方成正比，比例系数为b;固定局部为a元。

把全程运输本钱y〔元〕表示为速度v〔km/h〕的函数，并指出这个函数的定义域；

为了使全程运输本钱最小，汽车应以多大速度行驶？

错解〔1〕依题意，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间是，全程运输本钱为y=a+bv2=s(+bv)故所求函数即定义域为y=s(+bv),0＜v≤c

〔2〕由题意s,a,b,v均为正数，故s(+bv)≥2s〔当且仅当=bv时，即v=时，等号成立〕∴v=时，全程运输本钱最小。

分析在〔2〕中，结论成立的条件是v=，但速度能否到达呢？没有注意实际问题中的条件限制，使解答不够完整。应分以下两种情况讨论：①假设≤c,那么当v=时，全程运输本钱最小。②假设＞c,当0＜v≤c时,易证y是v的增函数，因此，当v=c时，全程运输本钱最小。事实上，

s(+bv)-s(+bc)=s[a(-)+b(v-c)]=(c-v)(a-bcv)

∵c-v≥0且a＞bc2∴a-bcv≥a-bc2＞0

∴s(+bv)≥s(+bc)〔当且仅当v=c时，等号成立〕

综上所述，为使全程运输本钱最小，当≤c时，行驶速度v=；当＞c