专题7 全等三角形中与中点有关问题的解决策略（原卷版）.pdfVIP

专题7全等三角形中与中点有关问题的解决策略（原卷版）

专题解读：中点是几何中最重要的元素之一，属于中考必考元素。掌握全等三角形中解决

中点问题的策略，对后续解决中点在等腰三角形边上，在直角三角形边上以及在四边形边上等

问题都很有启发。

解决策略一倍长中线

典例1在△ABC中，AD为BC边上的中线，

（1）如图1，求证：AB+AC＞2AD；

（2）如图2，若∠BAC＜90°，作EA⊥AC，FA⊥BA，且AE＝AC，AF＝AB，连接EF，写出AD与EF

的数量关系，并证明．

变式训练

1．（2022•西城区）如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，AM＝3，DE＝．

2．如图，AB⊥AE，AB＝AE，AC⊥AD，AC＝AD，AH⊥DE于点H，延长AH交BC于点M．求证：M是

BC的中点．

3．[阅读理解]

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图（1），在△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上

的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝

AD，请根据小明的方法思考：

（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．

A．SSSB．SASC．AASD．HL

（2）AD的取值范围是．

A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7

[感悟]

解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和

所求证的结论集合到同一个三角形中．

[问题解决]

（3）如图（2），AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE＝AB，∠BAC＝∠BCA．求证：AE

＝2AD．

解决策略二类倍长中线

典例2（2013秋•大冶市校级月考）如图，在△ABC中，点O为BC的中点，点M为AB上一点，ON⊥OM

交AC于N．

求证：BM+CN＞MN．

变式训练

1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠

BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．

解决策略三过线段的两端点向中点处的线段作垂线构造全等三角形

典例3如图，D为CE的中点，F为AD上一点，且EF＝AC．求证：∠DFE＝∠DAC．

变式训练

1．（2022秋•天河区校级期中）（1）如图①，AC平分∠DAB，∠B＝∠D＝90°，若DC＝5，则BC＝．

（2）探究：如图，四边形ABCD，AC平分∠DAB，∠B+∠D＝180°，求证：DC＝BC．

②

（3）应用：如图，点D、F分别在EC、AD上，若EF＝AC，且∠DFE＝∠DAC，求证：D为CE的

③

中点．

2．如图，AD为△ABC的中线，E为AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于F，FG⊥AD于G．求证：

AG＝EG．

3．如图．∠C＝90°，BE⊥AB且BE＝AB，BD⊥BC且BD＝BC，CB的延长线交DE于F

（1）求证：点F是ED的中点；

（2）求证：S△ABC＝2S△BEF．

解决策略四中点加平行线构造8字全等

典例4如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，DE⊥EC．

求证：（1）DE平分∠ADC；

（2）AD+BC＝DC．

针对训练

1．如图所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，E为CD的中点，若用S、S、S分别表示△ADE、△EBC、△

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ABE的面积，则S、S、S的关系是（）

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A．S+S＞SB．S+S＝S