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北京市东城区2024—2025学年度第二学期高三综合练习（一）
数学参考答案及评分标准
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
2025.4
（5）C
（10）D
（1）
（1）C
（2）B
（3）D
（4）A
（6）C
（7）A
（8）A
（9）B
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（12） ；0
（12） ；0
2
2
（14）2；
5
（11）2
（11）2
2
（13）2（答案不唯一）
（15）①③④
4
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，因为b?c?1，所以b?c.所以C为锐角．
44因为s
44
因为sinC?7，所以cosC?3．
由余弦定理c2?a2?b2?2abcosC，得(b?1)2?36?b2?9b.
解得b?5.
△ABC的面积S?
△ABC的面积S?1absinC?15
2
………7分
7
.
4
（Ⅱ）由a?6,b?5，b?c?1，得c?4.
222222cos
cosA?b?c?a?5?4?6?1.
2bc2?5?48
因为C为锐角，所以2C?(0,?).
又co
又cos2C?1?2sin2C?1?cosA
8
由A?(0,?)，所以A?2C.………
………13分
数学参考答案第1页（共7页）
（17）（共14分）
解：（Ⅰ）因为四边形ABCD为平行四边形，所以BCAD.
因为AD?平面ADE，BC?平面ADE，所以BC平面ADE.
因为BFDE，DE?平面ADE，BF?平面ADE，所以BF平面ADE.
因为BCBF?B，所以平面BCF平面ADE.
因为FC?平面BCF，所以FC平面ADE.
………………5分
（Ⅱ）选条件①：AE?CD.
因为平面ADE?平面CDE,平面ADE平面CDE
平面CDE?DE，
AD?DE，AD?平面ADE，所以AD?平面CDE.因为CD?平面CDE，所以AD?CD.
因为AE?CD，AD?A，AE
AE
所以CD?平面ADE.所以CD?DE.
如图建立空间直角坐标系D?xyz，设BF?t，
则A(1,0,0)，C(0,1,0)，E(0,0,1)，F(1,1,)t.
所以AC?(?1,1,0)，AF?,).(0,1
(0,1t
m?AC?0,?设平面AFC的法向量为m?
?
设平面AFC的法向量为m?(,xyz,)，则?
??x?y?0,
即?
?y?tz?0.
?m?AF?0,令z??1，则y?t，x?t.于是m?(,,tt?1).
6由于AE?
由于AE?(?1,0,1)，点E到平面AFC的距离d为 ，
2
所以d?|AE
所以d?|AE??|(?1)?t?0?t?1??(1)|?6
|
|
t2?t2?(?1)
2
2
m|
，解得t?1
.
m
2
1
所以BF的长为.2
………………14分
选条件②：AC?CE．
因为平面ADE?平面CDE，平面ADE平面CDE?DE，AD?DE，
AD?平面ADE，所以AD?平面CDE.所以AD?CD.所以?ADC?90o.
因为AD?ED，AC?EC，DC?DC，所以?ADC??EDC.
所以?ADC??EDC?90o.
所以CD?DE.
以下同选条件①.
………………14分
数学参考答案第2页（共7页）
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）在华东地区的6个省份中，水稻产量比小麦产量少的省份有安徽省和山东省，所以在华东地区的6个省份中随机抽取一个省份，该省水稻产量比小麦产量少
的概率为 ? .………………4分
（Ⅱ）在表1中水稻的播种面积排在前5名的省份是江西省、黑龙江省、安徽省
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