平均数、标准差与变异系数.pptVIP

全距（极差）是表示资料中各观测值变异程度大小最简便的统计量。但是全距只利用了资料中的最大值和最小值，并不能准确表达资料中各观测值的变异程度，比较粗略。当资料很多而又要迅速对资料的变异程度作出判断时，可以利用全距这个统计量。为了准确地表示样本内各个观测值的变异程度，人们首先会考虑到以平均数为标准，求出各个观测值与平均数的离差，（），称为离均差。虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的性质和程度，但因为离均差有正、有负，离均差之和为零，即Σ（）=0，因而不能用离均差之和Σ（）来表示资料中所有观测值的总偏离程度。为了解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题，可先求离均差的绝对值并将各离均差绝对值之和除以观测值个数n求得平均绝对离差，即Σ||/n。虽然平均绝对离差可以表示资料中各观测值的变异程度，但由于平均绝对离差包含绝对值符号，使用很不方便，在统计学中未被采用。我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题。先将各个离均差平方，即()2，再求离均差平方和，即，简称平方和，记为SS；由于离差平方和常随样本大小而改变，为了消除样本大小的影响，用平方和除以样本大小，即，求出离均差平方和的平均数；12为了使所得的统计量是相应总体参数的无偏估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均数时，分母不用样本含量n，而用自由度n-1，于是，我们采用统计量表示资料的变异程度。统计量称为均方（meansquare缩写为MS），又称样本方差，记为S2，即S2=（3—9）123相应的总体参数叫总体方差，记为σ2。对于有限总体而言，σ2的计算公式为：（3—10）壹贰由于样本方差带有原观测单位的平方单位，在仅表示一个资料中各观测值的变异程度而不作其它分析时，常需要与平均数配合使用，这时应将平方单位还原，即应求出样本方差的平方根。统计学上把样本方差S2的平方根叫做样本标准差，记为S，即：（3-11）12由于所以（3-11）式可改写为：（3-12）第三章平均数、标准差与变异系数第一节平均数平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均数主要包括有：中位数（median）几何平均数（geometricmean）算术平均数（arithmeticmean）众数（mode）调和平均数（harmonicmean）010305020406算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数，记为。1算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。2直接法3主要用于样本含量n≤30以下、未经分组资料平均数的计算。4算术平均数设某一资料包含n个观测值：x1、x2、…、xn，（3-1）则样本平均数可通过下式计算：其中，Σ为总和符号；表示从第一个观测值x1累加到第n个观测值xn。当在意义上已明确时，可简写为Σx，（3-1）式可改写为：【例3.1】某种10瓶饮用水的重量分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（g），求其平均数。由于Σx=500+520+535+560+58+600+480+510+505+49=5285，n=10即10瓶饮用水的平均重量为528.5g。加权法对于样本含量n≥30以上且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为：（3-2）010302得：式中：—第i组的组中值；—第i组的次数；—分组数第i组的次数fi是权衡第i组组中值xi在资料中所占比重大小的数量，因此将fi称为是xi的“权”，加权法也由此而得名。【例3.2】将100棵苹果树次年的产量（单位：kg）资料整理成次数分布表如下，求其加权数平均数。表3—1100棵苹果树次年的产量次数分布表利用（3—2）式得：即这100棵苹果树次年的产量为45.2kg。计算若干个来自同一总体的样本平均数的平均数时，如果样本含量不等，也应采用加