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试题

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试题

2024北京北师大实验中学高二（下）期中

数学

班级____________姓名____________学号____________成绩____________

考生须知：

1.本试卷共4页,共三道大题,21道小题,答题卡共4页,满分150分,考试时间120分钟.

2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号.

3.试卷答案一律填写在答题卡上,在试卷上作答无效.

4.在答题卡上,选择题须用铅笔将选中项涂黑涂满,其他试题用黑色字迹签字笔作答.

一、选择题（本大题共10小题,每小题4分,共40分)

1.已知等差数列中,,则

A.8 B.9 C.12 D.18

2.已知数列的前项和,则

A.16 B.32 C.48 D.64

3.下列函数中,图像存在与轴平行的切线的是

A. B. C. D.

4.函数的导函数为

A: B. C. D.

5.已知均为等比数列,则下列各项中不一定为等比数列的是

A. B. C. D.

6.已知数列满足:.若,则

A. B. C. D.

7.已知为无穷等差数列,则“存在且,使得”是“存在且,使得”的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

8.记,则

A. B. C. D.

9.已知函数,记,下列说法中正确的是

A.在上单调递增 B.在上单调递减

C.在上单调递增,在上单调递减

D.在上单调递减,在上单调递增

10.已知函数,下列说沖不正确的是

A.若,则在上单调递增 B.若0为的极大值点,则

C.的图像经过一个定点 D.若,则方程有三个不相等的实数根

二、填空题(本大题共5小题,、每小题5分,共25分)

11.已知等比数列中,,则的公比为___________.

12.若函数在区间[1,4]上的平均变化率恰等于其在处的瞬时变化率,则___________;___________.

13.设等差数列的公差为,前项和为,已知.

(1)若,则___________;

(2)若,则的最小值为___________.

14.已知函数,则的极大值为___________;的单调递减区间为___________.

15.设为无穷数列,记,其中为常数且.给出下列四个结论:

①若,则为单调递增数列;

②若,则为单调递减数列;

③若,则对任意且均存在最大项;

④若,则对任意且均存在最小项.

其中所有正确结论的序号是____________.

三、解答题(本大题共6小题,共85分)

16.(本小题满分14分)

已知函数.

(I)求在处的切线方程;

(II)求的单调区间和极值.

17.(本小题满分13分)

已知数列满足:,且对任意,都有.

(I)直接写出的值;

(II)猜想的通项公式,并用数学归纳法证明.

18.(本小题满分15分)

已知为等差数列,为等比数列,.

(I)求和的通项公式;

(II)求的前项和;

(III)若对任意,有恒成立,求实数的最小值.

19.(本小题满分13分)

某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状,计划再修建一条连接两条公路、贴近山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为,山区边界曲线为,计划修建的公路为,如图所示.已知M,N为的两个端点,点到的距离分别为20千米和5千米,点到的距离分别为4千米和25千米,分别以所在的直线为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy.假设曲线符合函数（其中a,k为常数）模型.

(I)求a,k的值；

(II)设公路与曲线相切于点,点的横坐标为.

①求公路所在直线的方程；

②当为何值时,公路的长度最短?求如最短长度.

20.(本小题满分15分)

已知函数.

(I)当时,求的零点;

(II)讨论在[1,e]上的最大值;

(III)是否存在实数,使得对任意,都有?若存在，求的取值范围;若不存在,说明理由.

21.(本小题满分15分)

若项数为的数列满足:,且存在,使得则称数列具有性质.

(I)①若,写出所有具有性质的数列;

②若,写出一个具有性质的数列;

(II)若,数列具有性质,求的最大项的最小值;

(III)已知数列均具有性质,且对任意,当时,都有.记集合,求中元素个数的最小值.

参考答案

一、选择题（每小题4分,共40分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

C

A

D

A

A

B

C

B

D

二、填空题（每小题5分,共25分)

题号

1

2

3

4

5

答案

②③④

三、解答题（共35分）

16.解:(I)的定义域为.

因此,在处的切线方程为:.

化简得.

(II),

令,解得或3.

当变化时,的变化情况如