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线性规划试题(答案)

选择题

1.已知实数\(x\)，\(y\)满足约束条件\(\begin{cases}xy+2\geq0\\x+y4\geq0\\2xy5\leq0\end{cases}\)，则\(z=x+2y\)的最大值为（）

A.\(10\)B.\(12\)C.\(14\)D.\(16\)

答案：C

解析：首先，画出不等式组所表示的平面区域。

对于\(xy+2=0\)，其斜率为\(1\)，截距为\(2\)；\(x+y4=0\)，斜率为\(1\)，截距为\(4\)；\(2xy5=0\)，斜率为\(2\)，截距为\(5\)。

联立\(\begin{cases}x+y4=0\\2xy5=0\end{cases}\)，两式相加得\(3x9=0\)，解得\(x=3\)，把\(x=3\)代入\(x+y4=0\)得\(y=1\)，交点为\((3,1)\)。

联立\(\begin{cases}xy+2=0\\2xy5=0\end{cases}\)，两式相减得\(x7=0\)，解得\(x=7\)，把\(x=7\)代入\(xy+2=0\)得\(y=9\)，交点为\((7,9)\)。

联立\(\begin{cases}xy+2=0\\x+y4=0\end{cases}\)，两式相加得\(2x2=0\)，解得\(x=1\)，把\(x=1\)代入\(xy+2=0\)得\(y=3\)，交点为\((1,3)\)。

目标函数\(z=x+2y\)可化为\(y=\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}\)，\(\frac{z}{2}\)为直线在\(y\)轴上的截距。

当直线\(y=\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}\)经过点\((7,9)\)时，截距最大，此时\(z_{max}=7+2\times9=14\)。

2.设变量\(x\)，\(y\)满足约束条件\(\begin{cases}x+2y\geq2\\2x+y\leq4\\4xy\geq1\end{cases}\)，则目标函数\(z=3xy\)的取值范围是（）

A.\([\frac{3}{2},6]\)B.\([\frac{3}{2},1]\)C.\([1,6]\)D.\([6,\frac{3}{2}]\)

答案：A

解析：画出不等式组表示的平面区域。

联立\(\begin{cases}x+2y=2\\2x+y=4\end{cases}\)，将第一个式子乘以\(2\)得\(2x+4y=4\)，与\(2x+y=4\)相减得\(3y=0\)，解得\(y=0\)，把\(y=0\)代入\(x+2y=2\)得\(x=2\)，交点为\((2,0)\)。

联立\(\begin{cases}2x+y=4\\4xy=1\end{cases}\)，两式相加得\(6x=3\)，解得\(x=\frac{1}{2}\)，把\(x=\frac{1}{2}\)代入\(2x+y=4\)得\(y=3\)，交点为\((\frac{1}{2},3)\)。

联立\(\begin{cases}x+2y=2\\4xy=1\end{cases}\)，将第二个式子乘以\(2\)得\(8x2y=2\)，与\(x+2y=2\)相加得\(9x=0\)，解得\(x=0\)，把\(x=0\)代入\(x+2y=2\)得\(y=1\)，交点为\((0,1)\)。

目标函数\(z=3xy\)可化为\(y=3xz\)，\(z\)为直线在\(y\)轴上的截距。

当直线\(y=3xz\)经过点\((2,0)\)时，\(z_{max}=3\times20=6\)；当直线\(y=3xz\)经过点\((\frac{1}{2},3)\)时，\(z_{min}=3\times\frac{1}{2}3=\frac{3}{2}\)。所以\(z\)的取值范围是\([\frac{3}{2},6]\)。

填空题

1.若\(x\)，\(y\)满足约束条件\(\begin{cases}x\geq0\\x+2y\geq3\\2x+y\leq3\end{cases}\)，