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专题01集合新定义问题

以集合为背景的创新问题是考试创新题型的一个热点，此类问题多以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，常在创新集合定义、运算、性质等方面命题，考查考生理解问题、解决创新问题的能力．

题型一与集合定义有关的创新问题

【例1】若对任意，均有，就称集合是伙伴关系集合．设集合，则的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（????）

A．15 B．16 C．32 D．128

【解题技法】与集合新定义有关的创新问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质；按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决．

【跟踪训练】

若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（????）

A． B．

C． D．

题型二与集合运算有关的创新问题

【例2】如图所示的Venn图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，则（????）

A． B．

C． D．

【解题技法】与集合运算有关的创新问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．

【跟踪训练】

（2024·广东珠海高一期末）对于的两个非空子集，定义运算，则（????）

A．

B．

C．若，则

D．表示一个正方形区域

题型三与集合性质有关的创新问题

【例3】设P是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意，都有，且若，则，则称P是一个数域．例如，有理数集Q是数域．下列命题正确的是（????）

A．数域必含有0，1两个数

B．整数集是数域

C．若有理数集，则数集M一定是数域

D．数域中有无限多个元素

【解题技法】与集合性质有关的问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题．

【跟踪训练】在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下三个结论：

①2023∈[3]；

②－3∈[3]；

③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]．

其中，正确结论的序号是________．

题型四与数列交汇的创新问题

【例3】（2023·北京·高考真题）已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.

(1)若，求的值；

(2)若，且，求；

(3)证明：存在，满足使得．

【解题技法】若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.

【跟踪训练】（2024·北京·高考真题）设集合．对于给定有穷数列，及序列，，定义变换：将数列的第项加1，得到数列；将数列的第列加，得到数列…；重复上述操作，得到数列，记为．

(1)给定数列和序列，写出；

(2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；

(3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，证明：“存在序列，使得为常数列”的充要条件为“”．

1．定义两集合的差集：且，已知集合，，则的子集个数是（????）个．

A．2 B．4 C．8 D．16

2．德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：若集合A和B是全集U的子集，且无公共元素，则称集合互为正交集合，规定空集是任何集合的正交集合．若全集，则集合A关于集合U的正交集合B的个数为（????）

A．8 B．16 C．32 D．64

3．如图所示，，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，，，则为（????）

A． B．

C．或 D．或

4．已知集合（），若集合，且对任意的，存在使得，其中，，则称集合A为集合M的基底.下列集合中能作为集合的基底的是（????）

A． B． C． D．

5．（多选）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“．”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：

①对所有的a、，有；

②、b、，有；

③，使得，有，e称为单位元；

④，，使，称a与b互为逆元．

则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有（????）

A．关于数的乘法构成群

B．自然数集N关于数的加法构成群

C．实数集R关于数的乘法构成群

D．关于数