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试题

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试题

2024北京日坛中学高一（下）期中

数学

一、单选题：（共10小题，每小题5分）

1．（5分）已知复数z＝2i，则z的共轭复数等于（）

A．0 B．2i C．﹣2i D．﹣4

2．（5分）已知三条直线a，b，c满足：a与b平行，a与c异面，则b与c（）

A．一定异面 B．一定相交

C．不可能平行 D．不可能相交

3．（5分）已知α是锐角，＝（﹣1，1），＝（cosα，sinα），且⊥，则α为（）

A．30° B．45° C．60° D．30°或60°

4．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5．（5分）如图，在矩形ABCD中，E为BC中点，那么向量+等于（）

A． B． C． D．

6．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为棱AD、BC的中点，则平面C1D1EF与底面ABCD所成的二面角的余弦值为（）

A． B． C． D．

7．（5分）在△ABC中，若b＝，c＝3，B＝30°，则a等于（）

A．2 B．3 C． D．2或

8．（5分）已知两条直线m，n和平面α，那么下列命题中的真命题是（）

A．若m⊥n，n?α，则m⊥α B．若m⊥n，n⊥α，则m∥α

C．若m⊥α，n?α，则m⊥n D．若m∥α，n∥α，则m∥n

9．（5分）在△ABC中，AB＝AC＝2，，点P在线段BC上．当取得最小值时，PA＝（）

A． B． C． D．

10．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点（不含端点），则下列结论错误的是（）

A．平面CBP⊥平面BB1P

B．DC1⊥PC

C．三棱锥C1﹣D1PC的体积为定值

D．∠APD1的取值范围是（0，]

二、填空：（共6小题，每小题5分）

11．（5分）已知复数z＝﹣1+3i，其中i是虚数单位，则z的模是__________．

12．（5分）2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶．已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东60°方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走__________．

13．（5分）轴截面是边长为2的正三角形的圆锥的侧面积为__________．

14．（5分）设向量，满足||＝2，||＝1，＜，＞＝60°，则|+2|＝__________．

16．（5分）如图，从长、宽、高分别为a，b，c的长方体AEBF﹣GCHD中截去部分几何体后，所得几何体为三棱锥A﹣BCD．下列四个结论中，所有正确结论的序号是__________．

①三棱锥A﹣BCD的体积为；

②三棱锥A﹣BCD的每个面都是锐角三角形；

③三棱锥A﹣BCD中，二面角A﹣CD﹣B不会是直二面角；

④三棱锥A﹣BCD中，三条侧棱与底面所成的角分别记为α，β，γ，则sin2α+sin2β+sin2γ≤2．

三、解答题：（共70分）

17．（10分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1是平行四边形，BC1⊥C1C，平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，且P，E，F分别是AB，BC，A1B1的中点．

（Ⅰ）求证：BC1⊥平面A1C1CA；

（Ⅱ）求证：平面EFP⊥平面BCC1B1．

18．（15分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b＝，c＝3，cosB＝﹣

（Ⅰ）求sinC的值；

（Ⅱ）求△ABC的面积．

19．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD上一点．

（Ⅰ）求证：CD∥平面ABE；

（Ⅱ）求证：CD⊥AE；

（Ⅲ）若E为PD中点，平面ABE与侧棱PC交于点F，且PA＝PD＝AD＝2，求四棱锥P﹣ABFE的体积．

20．（15分）在①a+b＝1+，②csinA＝2，③b＝c这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，____，且sinB＝sinA，C＝？

21．（15分）已知集合（n∈N，n≥4），若存在数阵满足：

①{a1，a2，…，an}∪{b1，b2，…，bn}＝Mn；

②ak﹣bk＝k（k＝1，2，…，n）．

则称集合Mn为“好集合”，并称数阵T为Mn的一个“好数阵”．

（Ⅰ）已知数阵是M4的一个“好数阵”，试写出x，y，z，w的值；

（Ⅱ）若集合Mn为“好集合”，证明：集合Mn的“好数阵”必有偶数个；

（Ⅲ）判断Mn（n＝5，6