数学及其思想的应用价值.pptVIP

1一只船从甲地到乙地，往返共用2小时，回来时是顺水，比逆水每小时多行8千米，第二小时比第一小时多行6千米，甲乙相距多少千米？2兄弟二人各有人民币若干元，哥比弟多50元，若哥把自己的给弟，弟又把原来自己的给哥，则弟比哥多10元，哥弟原来各有多少元？3一辆汽车从甲地到乙地，若把车速提高到原速的1.2倍,可比原定时间提前1小时到达;若原速行驶120千米后,再将速度提高到原速的1.25倍,则可提前40分钟到达,甲乙两地相距多少千米？4直观想象线段图、方形图2必要的思维经历、思维方式、思维方法3想象、推理、空间感知的作用1如何看待算术和代数方法?5代数解法有一定规律.4公交车和地铁的不同感受。例：欧拉的分遗嘱问题01一位父亲临终时让他的几个孩子按如下方式分遗产：老大100克朗和剩下的1/10，老二200克朗和剩下钱的1/10，老三拿300克朗和剩下的1/10，老四拿400克朗和剩下的1/10，依次类推，分完后发现这种方法好极了，因为每个孩子分的钱相等，问有几个孩子？每个分多少钱？02代数运算具有较大的普遍性。03代数的产生极大地拓宽了数学的应用范围。许多算术无能为力的问题在代数中轻而易举。01代数学的产生对整个数学发展产生了深远的影响，许多重大发现都与代数的思想方法有关。二次方程-虚数，五次方程-群论02代数应用于几何-解析几何。03文词代数—简字代数—符号代数04从综合几何到几何代数化01几何代数化思想产生的背景02综合几何的产生背景03几何、代数研究方法各自的优势和不足04几何：严谨的推理方法、图形直观、解题技巧（正方形的问题）05代数：符号抽象、解题方法一般化、有一定的规律06数学家韦达、法国哲学家笛卡尔（蜘蛛网）07法国数学家费尔马08解析几何的基本思想1几何代数化的意义2把几何学推向新的阶段:定性—定量、静态—动态（垂直——斜率）3为代数学的研究提供了新的工具4构造图形解不等式问题、三角函数值5直观模型和解释6例求15°的三角函数值7为微积分的创立准备了必要条件变数的引入曲线、轨迹、变量变数引入数学为微积分的创立奠定了基础，解析几何的产生可看做是微积分创立的前奏。恩格斯曾高度评价：数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数运动进入数学，辩证法进入数学，有了变数微分和积分立刻成为必要。推理程序机械化定理机械化证明的方法论基础是利用代数方法把推理程序机械化，借助计算机完成，根源可追溯到几何代数化。对数学研究从方法论上予以启示点与数对对应、曲线与方程对应、形数结合的思想：微分几何、空间解几、向量的思想（直线与平面垂直的判定）为数学的机械化证明提供了重要启示从常量数学到变量数学变量数学产生的历史背景17世纪社会、生产和自然科学向数学提出了一系列与运动变化有关的新问题（航海中的非匀速、切线、面积等）刘徽的割圆术（割之弥细、失之弥少）一尺之锤，日取其半，万世不竭。变量数学的形成及意义经历两大步骤：解析几何的产生-直接前提微积分的产生---变量数学的主要标志01英国数学家牛顿：运动学角度021665年5月20日—微积分的诞生之日03连续变化的量——流量（fluent)04无限小的时间间隔——瞬（moment）05流量在无限小的时间内的变化率—流数06给定流量求流数—导数07给定流数求流量—积分08符号：、切线、面积问题用∫ydy来代替求和，∫表示一个总和，d表示差额。在科学史上牛顿、莱布尼兹各自的拥护者们为微积分的最先发明权进行过一场不愉快的争论。牛顿日记：和莱布尼兹通信中，求极值、切线等的方法，反过来没告诉莱布尼兹。莱说他也想到了一种方法，并告诉了他。德国数学家莱布尼兹：几何学角度他的方法除了定义、符号、公式和产生数的想法不一样外，几乎没有多大差异。01莱布尼兹花费心思选择最好的符号，最大限度地减少人的思维劳动。他曾说过要发明就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用包含少量因素的符号来表达和比较忠实地描绘事物的本质，从而最大限度地减少人的思维劳动。莱布尼兹的微积分符号优于牛顿的流数术符号，简洁易懂便于使用。符号的自然性问题02英国数学袭用流数术符号，有一段时期落后于欧洲大陆。19世纪英国数学家巴伯奇等人成立了一个数学分析学会，反对点主义、拥护d主义，可见在英国使用符号d竟是一场奋斗的结果。从必然数学到或然数学01或然数学的现实基础02必然数学：描述研究必然现象及其关系的数学，条件和结论之间存在必然联系。03或然数学：描述研究或然现象及其关系的数学，条件和结论之间无必然联系。04掷骰子、硬币、阴天和下雨之间