方差及常见分布的期望方差课件.pptVIP

《概率统计》下页结束返回**隨機變數的方差1.方差的概念與計算3.方差的性質2.常見分佈的方差下頁○、方差概念的引入隨機變數的數學期望是一個重要的數學特徵，反應了隨機變數取值的平均大小，但只知道隨機變數的數學期望是不夠的.下頁隨機變數的方差引例1.從甲、乙兩車床加工的零件中各取５件，測得尺寸如下：甲：8，9，10，11，12；乙：9.6，9.8，10，10.2，10.4已知標準尺寸為10(cm),公差d=0.5cm,問那一臺車床好？以X甲，X乙分別表示甲乙兩車床加工零件的長度，易得E(X甲)=E(X乙)＝10.雖然甲乙車床加工零件的均值相等，但其零件的品質有顯著差異，甲加工的零件只有１件合格，乙加工的全部合格.下頁引例2．有甲、乙兩人射擊，他們的射擊技術用下表給出.X表示甲擊中環數，Y表示乙擊中環數，誰的射擊水準高？因此，從平均環數上看，甲乙兩人的射擊水準是一樣的，但兩人射擊水準的穩定性是有差別的.怎麼體現這個差別呢?E(X)=9.2(環);E(Y)=9.2(環).思路：考察一下“誤差”平方的加權平均值情況.這表明乙的射擊水準比較穩定.甲:乙:下頁引例2．有甲、乙兩人射擊，他們的射擊技術用下表給出.X表示甲擊中環數，Y表示乙擊中環數，誰的射擊水準高？思路：考察一下“誤差”平方的加權平均值情況.這表明乙的射擊水準比較穩定.甲:乙:…E(X)=9.2(環);E(Y)=9.2(環)…一、方差的概念定義設X為隨機變數，如果E{[X-E(X)]2}存在，則稱E{[X-E(X)]2}為X的方差，記作D(X)或Var(X).即D(X)=Var(X)E{[X-E(X)]2}.其中P{X=xk}=pkk=1,2,3,….ò+￥￥--=dx.xfXExXD)()]([)(2①離散型隨機變數二、方差的計算下頁一、方差的概念定義設X為隨機變數，如果E{[X-E(X)]2}存在，則稱E{[X-E(X)]2}為X的方差，記作D(X).即D(X)=E{[X-E(X)]2}.②連續型隨機變數記為證明：D(X)=E{[X–E(X)]2}=E{X2-2X·E(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2E(X)·E(X)+[E(X)]2解：因E(X)=p，而E(X2)=12·p+02·q=p,於是D(X)=E(X2)-[E(X)]2=p-p2=pq.下頁三、方差的計算公式=E(X2)-[E(X)]2.例1．設隨機變數X～(0-1)分佈，其概率分佈為P{X=1}=p，P{X=0}=q，0＜p＜1，p+q=1，求D(X).例2．設隨機變數X具有概率密度求D(X).所以解：下頁四、常見分佈的方差⒈0-1分佈概率分佈為X10Pp1-pE(X)=p.下頁D(X)=E(X2)-[E(X)]2=p-p2=p(1-p)=pq.⒉二項分佈設隨機變數X～B(n,p),其概率分佈為E(X)=np.D(X)=E(X2)-[E(X)]2E(X2)=E(X2-X+X)=E[X(X-1)+X]=E[X(X-1)]+E(X)E[X(X-1)]D(X)=E(X2)-[E(X)]2=n(n-1)p2+np-n2p2=npq.從而得下頁⒊泊松分佈設隨機變數X~P(l)，其概率分佈為,k=0,1,2,3,…,l0,E(X)=l.D(X)=E(X2)-[E(X)]2E(X2)=E(X2-X+X)=E[X(X-1)+X]=E[X(X-1)]+E(X)E[X(X-1)]D(X)=E(X2)-[E(X)]2=l2