25春北师版初中数学七年级下册培优专练 专题1.1 整式的乘除（压轴题专项讲练）（北师大版）（解析版）.docx

专题1.1整式的乘除

思想方法

思想方法

整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。

配方法：配方，主要指的是配成平方公式，或二数和的平方，或二数差的平方，将配成的“平方”视作为一个整体，然后再根据已知条件进行运算，从而使题目简化得以解答。

配方的方法：

①根据已知条件的表现形式，去发现平方项和一次项的乘积形式，如果平方项互为倒数，则往往一次项以常数出现，隐藏了一次项的乘积不易发现，此时，就要抓住平方公式的特点去发现和挖掘；

②从要求的结果方面去配方，将要求的表达式向着已知条件的表现形式去配方，利用已知条件达到解题的目的.由于配方扩大了已知条件和要求解的范围，可能会产生不符合要求的结果，就要根据已知条件和所要求解的结果进行讨论，舍去不符合题意的答案.

知识点总结

知识点总结

一、幂的运算

1.同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

2.幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。

3.积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

4.同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。

注：任何不等于0的数的0次幂都等于1。

二、整式的乘法

单项式×单项式：系数相乘，字母相乘．

单项式×多项式：乘法分配律．

多项式×多项式：乘法分配律．

三、整式的除法

单项式÷单项式：系数相除，字母相除．

多项式÷单项式：除法性质．

多项式÷多项式：大除法．

四、乘法公式

1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。

2.完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。

典例分析

典例分析

【典例1】阅读理解：

若x满足60?xx?40=20，求

解：设60?x=a，x?40=b，

则ab=20，a+b=60?x+x?40=20．

∴60?x

=a

=(a+b)

=

=360；

类比探究：

（1）若x满足70?xx?20=?30，求

（2）若x满足3?4x2x?5=92，求3?4x2

（3）若x满足2023?x2+2020?x

解决问题：

（4）如图，正方形AEGO和长方形KLMC重叠，重叠部分是长方形BEFC其面积是300，分别延长FC、BC交AO和OG于D、H两点，构成的四边形ABCD和CFGH都是正方形，四边形ODCH是长方形.设CM=x，KC=3CM=3x，KB=54，FM=20，延长AO至P，使OP=2OD，延长AE至R，使RE=2BE，过点P、R作AP、AR垂线，两垂线交于点N，求正方形ARNP的面积.（结果是一个具体的数值）

【思路点拨】

（1）根据例题的解题思路进行计算，即可解答；

（2）将(3?4x)(2x?5)=92转化为(3?4x)[2(2x?5)]=9，即

（3）根据例题的解题思路进行计算，即可解答；

（4）根据已知可得BC=3x?54，CF=x?20，从而可得BC?CF=(3x?54)(x?20)=300，再根据题意得：AB=BC=3x?54，CF=BE=x?20，从而可得BR=3BE=3(x?20)，进而可得AR=(3x?54)+(3x?60)，然后利用（3）的解题思路进行计算，即可解答．

【解题过程】

解：（1）设70?x=a，x?20=b，

则ab=?30，a+b=70?x+x?20=50，

∴(70?x)

=a

=(a+b)

=50

=2500+60

=2560，

∴(70?x)

（2）∵3?4x2x?5

∴(3?4x)[2(2x?5)]=9，

∴(3?4x)(4x?10)=9，

设3?4x=m，4x?10=n，

则m+n=3?4x+4x?10=?7，mn=9，

∴(3?4x)

=(3?4x)

=(3?4x)

=m

=(m+n)

=(?7)

=49?18

=31，

∴(3?4x)2+4(2x?5

（3）设2023?x=p，2020?x=q，

则p?q=2023?x?(2020?x)=3，p2

∴2pq=p

=2061?3

=2061?9

=2052，

∴(2023?x)(2020?x)=pq=1026，

∴(2023?x)(2020?x)的值为1026；

（4）∵CM=x，KC=3CM=3