人教版新课程标准高中数学选修-5.1 导数的概念及其意义教学课件幻灯片PPT.pptxVIP

5.1.1.2变化率问题--几何意义

学习目标

1.通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程.

2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系.

3.体会极限思想.

复习引入

1.瞬时速度的本质是平均速度的极限.

物体运动的无限逼近物体运动的

平均速度取极限瞬时速度

2.求物体在时刻t0的瞬时速度一般步骤：

(1)平均速度：几何意义：割线的斜率

(2)瞬时速度：几何意义：？

探究新知

探究：抛物线的切线的斜率

我们知道，如果一条直线与一个圆只有

一个公共点，那么这条直线与这个圆相切.

对于一般的曲线C，如何确定它的切线呢？

问题1：我们知道斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线

2

f(x)=x在点P0(1,1)处的切线的斜率呢？

探究新知

追问1：如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条

直线与这条曲线一定相切吗？

不一定

追问2：如果一条直线与一条曲线相切，那么它们只有一个公

共点吗？

不一定

因此，我们不能像研究直线和圆的位置关系那样，通过交点

的个数来定义相切了.

探究新知

2

追问3：对于抛物线f(x)=x，应该如何定义它点P0(1,1)处的切线呢？

类比上节课的研究思路，例如研究运动员在t=1s的瞬时速度

几何意义：函数图象上过点(1,h(1))

和点(1+Δt,h(1+Δt))的直线斜率

几何意义是什么？

探究新知

2

追问3：对于抛物线f(x)=x，应该如何定义它点P0(1,1)处的切线呢？

y将点P逐渐靠近点P0，观

察割线PP的位置变化情况.

40

PT

3

当点P无限趋近于点P时，割线

20

1P0P无限趋近于一个确定的位置，这

P0

O12x个确定的位置的直线P0T称为抛物线

2

f(x)=x在点P0(1,1)处的切线.

探究新知

2

追问4：如何求抛物线f(x)=x在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率k0呢？

无限逼近

割线位置切线位置

无限逼近

割线斜率切线斜率

取极限

记点P的横坐标x=1+Δx，则点P的坐标即为(1+Δx,(1+Δx)2).

于是割线P0P的斜率

让横坐标变化量Δx趋近于0，观察割线斜率的变化情况.

探究新知

当Δx无限趋近于0，割线斜率k无限趋近于2.

探究新知

我们把2叫做“当Δx无限趋近于0时，的极限”，

记为

从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|y

无限变小时，当点P无限趋近于点P0时，4

PT

割线无限趋近于点处的切线.

P0PP0P0T3