25春北师版初中数学七年级下册培优专练 专题4.2 与三角形有关角的综合（压轴题专项讲练）（北师大版）（解析版）.docx

专题4.2与三角形有关角的综合

思维方法

思维方法

正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。

逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。

分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：

1.不重（互斥性）不漏（完备性）；

2.按同一标准划分（同一性）；

3.逐级分类（逐级性）。

知识点总结

知识点总结

一、三角形的内角及内角和定理

1.三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．

2.三角形内角和定理：三角形内角和是180°．

二、三角形的外角性质

1.三角形的外角和为360°；

2.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

3.三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．

典例分析

典例分析

【典例1】在△ABC中，∠C=60°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．

【问题初探】

（1）如图1，若点P在线段AB上，且∠α=60°，则∠1+∠2=______°；

（2）如图2，若点P在线段AB上运动，则∠1，∠2，∠α之间的数量关系为______；

【问题再探】

（3）如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，求∠1，∠2，∠α之间的数量关系；

（4）如图4，若点P运动到△ABC的内部，求∠1，∠2，∠α之间的数量关系．

【问题解决】

（5）若点P运动到△ABC的外部，且满足与点A分别居于直线BC的两侧时，请直接写出此时∠1，∠2，∠α之间的数量关系．

【思路点拨】

本题主要考查了三角形内角和定理，解题关键是正确识别图形，找出相关角与角之间的关系．

（1）（2）均先根据三角形内角和定理求出∠A+∠B和∠APD+∠BPE，再根据∠A+∠1+∠APD=∠B+∠2+∠BPE=180°求出∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE=360°，从而求出答案即可；

（3）先根据三角形内角和定理求出∠A+∠ABC和∠3，∠4，再根据∠A+∠ABC+∠1+∠4=360°，从而求出答案即可；

（4）先根据三角形内角和定理求出∠A+∠ABC，再根据五边形内角和公式求出∠A+∠B+∠1+∠2+∠α=540°，从而得到答案即可；

（5）分三种情况讨论：①在线段AB的延长线上，②不在线段AB的延长线上，③当点P在AC延长线上，分别画出图形进行解答即可．

【解题过程】

解：（1）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，

∴∠A+∠B=180°?60°=120°，

∵∠APD+∠α+∠BPE=180°，∠α=60°，

∴∠APD+∠BPE=120°，

∵∠A+∠1+∠APD=∠B+∠2+∠BPE=180°，

∴∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE=360°，

∠A+∠B+∠APD+∠BPE+∠1+∠2=360°，

∴∠1+∠2=360°?120°?120°=120°，

故答案为：120；

（2）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，

∴∠A+∠B=180°?60°=120°，

∵∠APD+∠α+∠BPE=180°，

∴∠APD+∠BPE=180°?∠α，

∵∠A+∠1+∠APD=∠B+∠2+∠BPE=180°，

∴∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE=360°，

∠A+∠B+∠APD+∠BPE+∠1+∠2=360°，

∴∠1+∠2=360°?120°?180°+∠α=60°+∠α，

故答案为：∠1+∠2=60°+∠α；

（3）如图所示：

∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠C=60°，

∴∠A+∠ABC=180°?60°=120°，

∵∠3+∠2+∠α=180°，

∴∠3=∠4=180°?∠2?∠α，

∵∠A+∠ABC+∠1+∠4=360°，

∴120°+∠1+180°?∠2?∠α=360°，

∴∠1?∠2=60°+∠α；

（4）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，

∴∠A+∠B=180°?60°=120°，

∵五边形ABEPF的内角和为5?2×180°=540°

∴∠A+∠B+∠1+∠2+∠α=540°，

∴∠1+∠2=540°?120°?∠α，

即∠1+∠2=420°?∠α；

（5）由题意可知点P的位置