25春北师版初中数学七年级下册培优专练 专题4.3 全等三角形的综合（压轴题专项讲练）（北师大版）（解析版）.docx

专题4.3全等三角形的综合

思维方法

思维方法

正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。

逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。

知识点总结

知识点总结

一、全等图形的判定

判定方法

解释

图形

边边边

(SSS)

三条边对应相等的两个三角形全等

边角边

(SAS)

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

角边角

(ASA)

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

角角边

(AAS)

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等

二、全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等，对应角相等.（另外全等三角形的周长、面积相等，对应边上的中线、角平分线、高线均相等）

典例分析

典例分析

【典例1】【初步探索】

（1）如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE.连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______．

【灵活运用】

（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．

【拓展延伸】

（3）已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，若∠C=70°，请直接写出∠EAF的度数．

【思路点拨】

（1）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF，据此得出结论；

（2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；

（3）在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，推导得到2∠FAE+∠DAB=360°，利用∠ABC+∠ADC=180°，∠C=70°推导出∠DAB的度数，即可得出结论．

【解题过程】

解：（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF，理由如下：

如图1，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，

在△ABE和△ADG中，

AB=AD∠B=∠ADG=90°

∴△ABE≌△ADGSAS

∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，

∵EF=BE+DF，DG=BE，

∴EF=BE+DF=DG+DF=GF，

在△AEF和△AGF中，

AE=AGAF=AF

∴△AEF≌△AGFSSS

∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF

故答案为：∠BAE+∠FAD=∠EAF；

（2）上述结论仍然成立，理由如下：

如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，

∵∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，

∴∠B=∠ADG，

在△ABE和△ADG中，

AB=AD∠B=∠ADG

∴△ABE≌△ADGSAS

∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，

在△AEF和△AGF中，

AE=AGAF=AF

∴△AEF≌△AGFSSS

∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；

（3）如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，

∴∠ADC=∠ABE，

在△ABE和△ADG中，

AB=AD∠ABE=∠ADC

∴△ABE≌△ADGSAS

∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，

∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，

在△AEF和△AGF中，

AE=AGAF=AF

∴△AEF≌△AGFSSS

∴∠FAE=∠FAG，

∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，

∴2∠FAE+∠GAB+∠BAE

∴2∠FAE+∠GAB+∠DAG

即2∠FAE+∠DAB=360°，

∴∠EAF=180°?

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠BCD=70°，

∴∠DAB=