25春北师版初中数学七年级下册培优专练 专题5.1 角平分线中的几何综合（压轴题专项讲练）（北师大版）（解析版）.docx

专题5.1角平分线中的几何综合

思维方法

思维方法

正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。

逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。

知识点总结

知识点总结

一、角平分线的性质

角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

用符号语言表示角的平分线的性质定理：

若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.

二、角平分线的判定

角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

用符号语言表示角的平分线的判定：

若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB

典例分析

典例分析

【典例1】已知△ABC，AD

【探究发现】如图1，若AD是∠BAC的角平分线．可得到结论：AB

小艳的解法如下：

过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，过点A作

∵AD是∠BAC的角平分线，且DM⊥AB

∴__________________

∴S△

又∵S△

∴__________________

【类比探究】如图2，若CD是∠ACB的外角平分线，CD与BA的延长线交于点D．求证：AC

【拓展应用】如图3，在△ABC中，∠BAC=60°，BF、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线且相交于点D，若ED

【思路点拨】

探究发现：根据题干中的解题思路求解即可；

类比探究：过点D作DN⊥AC交CA延长线于N，过点D作DM⊥BC延长线于M，过点C作

拓展应用：在BC上取点G，使得BG=BE，连接DG，先利用全等三角形的判定得出

【解题过程】

探究发现：

解：过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，过点A作

∵AD是∠BAC的角平分线，且DM⊥AB

∴DM=

∴S△

又∵S△

∴ABAC

故答案为：DM=DN，ABAC

类比探究：

证明：过点D作DN⊥AC交CA延长线于N，过点D作DM⊥BC延长线于M，过点C作

??

∵CD平分∠MCN

∴DN=

∴S△ACDS

∴ACBC

拓展应用：

在BC上取点G，使得BG=BE，连接

??

∵∠BAC

∴∠ABC

∵BD,CE分别是

∴∠DBE=∠DBG，∠

∴∠BDC

∴∠BDE

∵BD=

∴△BDE

∴∠BDE

∴∠

∴DG是∠BDC

由（1）知，DEDC

设BE=4x，BC=7x，则

由（1）知BDDC

即BDDC

学霸必刷

学霸必刷

1.如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，在下列结论中：①∠AOB=90°+∠C；②若AB=4，OD=1，则S△ABO=2；③当∠

??

A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④

【思路点拨】

由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；过O点作OP⊥AB于P，由角平分线的性质可求解OP=1，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在AB上取一点H，使BH=BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH=∠BOE=60°，再证得△HAO≌△FAO

【解题过程】

解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O

∴∠OBA=12

∴∠AOB=180°-∠OBA-∠

过O点作OP⊥AB于P

??

∵BF平分∠ABC，OD⊥

∴OP=OD

∵AB=4，

∴S△ABO=1

∵∠C=60°

∴∠BAC+∠

∵AE，BF分别是∠BAC与∠A

∴∠OAB+∠

∴∠AOB=120°

∴∠AOF=60°

∴∠BOE=60°，如图，在AB上取一点H，使BH

??

∵BF是∠ABC的角平分线，

∴∠HBO=∠

在△HBO和△EBO中，BH

∴△HBO≌△

∴∠BOH=∠

∴∠AOH=180°-60°-60°=60°

∴∠AOH=∠

在△HAO和△FAO中，∠HAO

∴△HAO≌△

∴AF=AH

∴AB=BH+AH

作ON⊥AC于N，OH⊥AB

??

∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，

∴ON=

∵AB+AC

∴S△ABC=1

故选：C．

2.如图，在△ABC中，BE，CE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∠ACF，AB∥CD，下列结论：①∠BDC=∠BAC；

??

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④

【思路点拨】

由角平分线的定义及三角形外角的性质可得∠BDC=12∠BAC，进而判定①；由角平分线的定义及平角的定义可求∠ECD=90°，利用三角形外角的性质及平行线的性质可