2024_2025年高中数学第一章导数及其应用1.1变化率问题三教案新人教版选修2_2.docVIP

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改变率问题

一、教学目标

1．感受平均改变率广泛存在于日常生活之中，经验运用数学描述和刻画现实世界的过程。体会数学的博大精深以及学习数学的意义。

2．理解平均改变率的意义，为后续建立瞬时改变率和导数的数学模型供应丰富的背景。

二、教学重点、难点

重点：平均改变率的实际意义和数学意义

难点：平均改变率的实际意义和数学意义

三、教学过程

一、问题情境

1.介绍数学历史文化学问，激发数学学习的爱好

人们为了描述现实世界中运动、改变着的现象，在数学中引入了函数，用数刻画静态现象，用函数刻画动态现象。随着对函数的探讨不断深化，17世纪中叶产生了微积分，这是数学发展历史上一个具有划时代意义的宏大创建。微积分的创立以自然科学中四类问题的处理干脆相关：

一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在随意时刻的速度与加速度等;

二、求曲线的切线;

三、求已知函数的最大值与最小值;

四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是探讨函数增减、改变快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数探讨的问题即改变率问题：探讨某个变量相对于另一个变量改变的快慢程度．

2、情境：

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?

二、学生活动

思索计算：和的平均速度

在这段时间里，；

在这段时间里，

探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思索以下问题：

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，

所以，

虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际状况是运动员仍旧运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

三、建构数学

1．上述问题中的改变率可用式子表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均改变率

2．若设,(这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)

则平均改变率为

思索：视察函数f(x)的图象

平均改变率表示什么?

四、数学运用

例1．已知函数f(x)=的图象上的一点及接近一点,则．

解：，

∴

例2、已知函数，分别计算在下列区间上的平均改变率：

（1）[1，3]；

（2）[1，2]；

（3）[1，1.1]；

[1，1.001]。

(5)求在旁边的平均改变率。

解：，所以

所以在旁边的平均改变率为

五、课堂练习

1、某婴儿从诞生到第12个月的体重改变如图所示，试分别计算从诞生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均改变率。

T(月

T(月)

W(kg)

6

3

9

12

3.5

6.5

8.6

11

2、已知函数f（x）=2x+1，g（x）=—2x，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上f（x）及g（x）的平均改变率。

（发觉：y=kx+b在区间[m，n]上的平均改变率有什么特点？）

六、回顾反思

1、平均改变率

一般的，函数在区间[x1，x2]上的平均改变率。

２、平均改变率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均改变率“视觉化”．

七、作业

1．质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为．

2.物体根据s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s旁边的平均改变率.