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2015届高三第四次模拟考试答案
数学（=2\*ROMANII）
(考试时间：30分钟总分：40分)
21.［选做题］请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．
A．（本小题满分10分，选修4-1几何证明选讲）
如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：AD·DE＝2PB2.
证明：由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PC＝2PA，D为PC的中点，所以DC＝2PB，BD＝PB.………5分
由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，
所以AD·DE＝2PB2.………10分
B．（本小题满分10分，选修4—2矩阵与变换）
已知矩阵
（1）求；
（2）满足AX=二阶矩阵X
解：(1)………4分
(2)………10分
C．（本小题满分10分，选修4—4坐标系与参数方程选讲）
已知圆C的参数方程为，若P是圆C与x轴正半轴的交点，以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为，求直线的极坐标方程．
解由题设知,圆心2分
∠CPO=60°,故过P点的切线的倾斜角为30°4分
设是过P点的圆C的切线上的任一点，
则在△PMO中，∠MOP=
由正弦定理得8分
，即为所求切线的极坐标方程.10分
D．（本小题满分10分，不等式选讲）
已知实数满足，求的最小值.
解：由柯西不等式，，
………4分
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．………10分
［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22.（本小题满分10分)
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝AC＝4，AA1⊥平面ABC；AB⊥AC，
（1）求二面角A1－BC1－B1的余弦值；
（2）在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，求eq\f(BD,BC1)的值．
解：（1）如图,以A为原点建立空间直角坐标系A－,
则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),
设平面A1BC1的法向量为,
则,即,
令,则,,所以.
同理可得,平面BB1C1的法向量为,
所以.
由题知二面角A1－BC1－B1为锐角,所以二面角A1－BC1－B1的余弦值为.………5分
（2）设D是直线BC1上一点,且.所以.解得,,.
所以.
由,即.解得.
因为,所以在线段BC1上存在点D,
使得AD⊥A1B.
此时,.………10分
23.（本小题满分10分)
（1）证明：=1\*GB3①；=2\*GB3②（其中）；
（2）某个比赛的决赛在甲、乙两名运动员之间进行，比赛共设局，每局比赛甲获胜的概率均为，首先赢满局者获胜（）.
=1\*GB3①若，求甲获胜的概率；
=2\*GB3②证明：总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）.
解：（1）=1\*GB3①
………2分
=2\*GB3②由=1\*GB3①………3分
（2）=1\*GB3①若，甲获胜的概率………5分
=2\*GB3②证明：设乙每一局获胜的概率为，则。
记在甲最终获胜的概率为，则
所以，
所以
即总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）。………10分
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