数值分析06-函数逼近.pptVIP

正交多项式曲线拟合（续）阜师院数科院第六章函数逼近6-*是病态阵一样，m不大时还好，当m较大时为病态阵（m太大，大小都为病态的）。因此，在实际应用时，m不能太大，也即曲线拟合的多项式的次数不会太大，多用低次的。因此，一般情况下，对线性最小二乘问题，要得到最小二乘拟合多项式,就面临着要求解病态方程组这一困难，要克服这一困难。可以选用适用于病态方程组求解的数值方法如奇异值分解法等去求解法方程组。也可以通过生标的平移和伸缩变换，去降低法方程组的病态程度。本节考虑用正交多项式来进行曲线拟合3.1离散正交多项式阜师院数科院第六章函数逼近6-*对多项式?k(x)和?j(x)，式（6-4）定义了在离散情况下的内积：利用内积，可以有:定义6.1如果两个多项式?k(x)、?j(x)满足:则称?k(x)与?j(x)在点集{x1,x2,…,xn}上是带权?i离散正交的。设{?0(x),?1(x),…,?m(x)}为多项式系，?k(x)为k次多项式，如果满足正交条件：则称{?0(x),?1(x),…,?m(x)}为点集{x1,x2,…,xn}上的带权?i

的离散正交多项式系。离散正交多项式（续）阜师院数科院第六章函数逼近6-*这样的?k(x)是首项系数为1的k次多项式，下面的定理给出了{?k(x)}的正交性证明。01对于给定的节点{x1,x2,…,xn}，可以按下列公式（称为三项递推式）构造离散正交多项式系：

{?0(x),?1(x),…,?m(x)}(mn)：02构造离散正交多项式阜师院数科院第六章函数逼近6-*定理6.2按式（6-6），（6-7）构造的多项式系{?0,?1,…,?n}是点集{x1,x2,…,xn}上关于?i的离散正交多项式。证明:用数学归纳法证明当k=1时，利用式（6-6）中第二式得:从而证明了?0(x)与?1(x)的离散正交性;（紧接下屏）WYWYWYWY阜师院数科院第六章函数逼近6-*第六章函数逼近（曲线拟合）阜师院数科院第六章函数逼近6-*第六章目录§1最小二乘法原理和多项式拟合§2一般最小二乘拟合2.1线性最小二乘法的一般形式2.2非线性最小二乘拟合§3正交多项式曲线拟合3.1离散正交多项式3.2用离散正交多项式作曲线拟合§4函数的最佳平方逼近§5最佳一致逼近函数逼近（曲线拟合）概述阜师院数科院第六章函数逼近6-*用简单的计算量小的函数P(x)近似地替代1给定的函数f(x)（或者是以离散数据形式给2定的函数），以便迅速求出函数值的近似值3，是计算数学中最基本的概念和方法，称为4函数逼近。通常被逼近的函数一般较复杂，5或只知道离散点处的值，难于分析，而逼近6函数则比较简单，如选用多项式，有理函数7，分段多项式，三角多项式等。8函数逼近（曲线拟合）概述（续）阜师院数科院第六章函数逼近6-*在大量的实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)中寻找其函数关系

y=f(x)的近似函数P(x)，是在实践中常遇到的。上一章介绍的插值方法就是一种逼近，要求在给定的节点处P(x)与f(x)相等（甚至导数值相等），因此在节点附近，逼近效果较好，而在远离节点的地方，由Runge现象知道，有时效果会很差，另一方面，由观测得到的实验数据不可避免地带有误差，甚至是较大的误差，此时要求近似函数P(x)过全部已知点，相当于保留全部数据误差，所以使用插值法不合适。因此，对逼近函数P(x)不必要求过给定的点，即不要求P(xi)=yi(i=1,2,…,n)，只要求P(xi)–yi总体上尽可能小即要求P(x)尽可能反映给定数据点的总体趋势，在某种意义（要求或标准）下与函数最“逼近”。下面先举例说明。函数逼近举例阜师院数科院第六章函数逼近6-*给定一组实验数据如上，求x,y的函数关系。例1123424681.12.84.97.2ixiyi解先作草图如图6-1所示这些点的分布接近一条直线，因此可设想，y为x的一次函数。设y=a0+a1x，从图中不难看出，无论a0，a1取何值，直线都不可能