25春北师版初中数学七年级下册培优专练 专题4.1 与三角形有关线段的综合（压轴题专项讲练）（北师大版）（解析版）.docx

专题4.1与三角形有关线段的综合

思维方法

思维方法

正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。

逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。

知识点总结

知识点总结

一、三角形的三边关系

三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.

在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．

二、三角形的角平分线、中线和高

1.从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．

2.三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．

3.三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．

4.三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．

5.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．

典例分析

典例分析

【典例1】【问题情境】

如图1，AD是△ABC的中线，△ABC与△ABD的面积有怎样的数量关系？

小旭同学在图1中作BC边上的高AE，根据中线的定义可知BD=CD．又因为高AE相同，所以S△ABD=S

??

【深入探究】

（1）如图2，点D在△ABC的边BC上，点P在AD上．

①若AD是△ABC的中线，求证：S△APB

②若BD=3DC，则S△APB

【拓展延伸】

（2）如图3，分别延长四边形ABCD的各边，使得点A、B、C、D分别为DH、AE、BF、CG的中点，依次连结E、F、G、H得四边形EFGH．

①求证：S△HDG

②若S四边形ABCD=3

【思路点拨】

（1）①根据中线的性质可得S△ADB=S△ADC，点D为BC的中点，推得PD是△PBC的中线，

②设△ABC边BC上的高为?，根据三角形的面积公式可得S△ADB=12×BD×?，S△ADC=12

（2）①连接AG，AC，CE，根据中线的判定和性质可得S△GAH=S△GAD=12S△GHD，S△CBA=S△CBE

②由①可得S△HDG+S△FBE=2S四边形

【解题过程】

（1）①证明：∵AD是△ABC的中线，

∴S△ADB=S△ADC，点

∴PD是△PBC的中线，

∴S△PDB

∴S△ADB

即S△APB

②S△APB

解：设△ABC边BC上的高为?，

则S△ADB=1

∵BD=3DC，

∴S△ADB

同理S△PDB

则S△ADB

即S△APB

∴S△APB

（2）①证明：连接AG，AC，CE，如图：

??

∵点A、B、C、D分别为DH、AE、BF、CG的中点，

∴AG，BC，CE，DA分别为△GHD，△CAE，△EFB，△ACG的中线，

∴S△GAH=S△GAD=12

∴S△ADC=

∵S四边形

即S△HDG

②15，

解：由①可得S△HDG+S

S四边形

即S四边形

∵S四边形

∴S四边形

学霸必刷

学霸必刷

1．（2023下·江苏镇江·七年级校考阶段练习）如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部分，BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，那么三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比是（）

A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：6

【思路点拨】

如图：连接AF，根据△BEF的边BE上的高和△ABF边AB上的高相等可得SΔBEFSΔABF=BE

【解题过程】

解：如图：连接AF

∵BE=3，AE=6，

∴AB=9，

∵△BEF的边BE上的高和△ABF边AB上的高相等，

∴SΔBEF

同理可得：SΔABF=

∴S△BEF

故选：A．

2．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆市第七中学校校考阶段练习）如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF=CA，延长AB至点D，使得BD=2AB，延长BC至点E，使得CE=3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF=36，则S△ABC

??

A．1 B．2 C．3 D．4

【思路点拨】

先设△ABC的面积为m，再根据底共线，高相等，面积的比等于底边的比，将其余各个三角形的面积表示出来，总面积为36，解得△ABC的面积．

【解题过程】

解：如图，连接EA、CD，设△ABC的面积为m，

??

∵BD=2AB，

∴△BCD的面积为2m，△AC