湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷.docx

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湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则中元素的个数为（????）

A．3 B．2 C．1 D．0

2．若复数，则（???）

A． B． C． D．

3．函数的最小正周期是（???）

A． B． C． D．

4．若是夹角为的单位向量，则与的夹角为（????）

A． B． C． D．

5．已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（???）

A． B． C． D．

6．一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（???）

A． B． C． D．

7．已知的内角所对的边分别为，，则的面积为（???）

A． B． C．36 D．27

8．已知函数在区间上的最大值为，则当取到最小值时，（???）

A．7 B． C．9 D．

二、多选题

9．已知圆，直线（其中为参数），则下列选项正确的是（???）

A．圆的半径 B．直线与圆相交

C．直线不可能将圆的周长平分 D．直线被圆截得的最短弦长为

10．双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，则下列说法正确的是（????）

A．双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数

B．

C．函数的值域为

D．

11．古希腊数学家托勒密（Ptolemy85—165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表．托勒密用圆的半径的作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角所对的弦长记为．例如180°圆心角所对弦长等于直径，即120个度量单位，所以．则（???）

A．crd B．若，则

C． D．crd

三、填空题

12．若指数函数满足，则．

13．从编号的15张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件：“第一次抽到数字为5的倍数”，事件：“第二次抽到的数字小于第一次”，则．

14．已知是抛物线的焦点，是上不同的两点，为坐标原点，若，垂足为，则面积的最大值为．

四、解答题

15．某电视台为了解不同性别的观众对同一档电视节目的评价情况，随机选取了100名观看该档节目的观众对这档电视节目进行评价，已知被选取的观众中“男性”与“女性”的人数之比为，评价结果分为“喜欢”和“不喜欢”，并将部分评价结果整理如下表所示．

性别

评价

合计

喜欢

不喜欢

男性

15

女性

合计

50

100

(1)根据所给数据，完成上面的列联表；

(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与评价结果有关系？

(3)电视台计划拓展男性观众市场，现从参与评价的男性中，用按比例分配的分层随机抽样的方法选取3人，进行节目“建言”征集奖励活动，其中评价结果为“不喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，评价结果为“喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，“建言”被采用奖励100元，“建言”不被采用奖励50元，记3人获得的总奖金为，求的分布列及数学期望．

附：．

0.010

0.005

0.001

6.635

7.879

10.828

16．已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，且．

(1)用表示；

(2)若，记，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式．

17．如图，在直三棱柱中，是四边形（不含边界）内的动点且．

??

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面所成角的余弦值的取值范围．

18．已知椭圆的离心率为分别为椭圆的上、下顶点，为坐标原点，直线与椭圆交于不同的两点.

(1)设点为线段的中点，证明：直线与直线的斜率之积为定值；

(2)若，证明：直线与直线的交点在定直线上.

19．已知函数．

(1)若在处的切线为，求的值；

(2)当时，求在上的零点个数；

(3)当时，设，是否存在，使得曲线在点处的切线与有3个交点？若存在，探究满足条件的的个数；若不存在，说明理由．

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《湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

A

B

C

B

B

D

B

BD

ACD

题号

11

答案

AC

1．B

【分析】根据题意，联立方程组，求得交点的坐标，确定集合，即可求解.

【详解】由