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第01讲直线的方程
(模拟精练+真题演练)
1.(2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测)若直线恒过点A,点A也在直线上,其中均为正数,则的最大值为(????)
A. B. C.1 D.2
【答案】B
【解析】因为,则,
令,解得,
即直线恒过点.
又因为点A也在直线上,则,
可得,且,
则,即,当且仅当时,等号成立
所以的最大值为.
故选:B.
2.(2023·山东泰安·校考模拟预测)已知点在圆上,过作圆的切线,则的倾斜角为(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得,
当的斜率不存在时,此时直线方程为,与圆相交,不合题意,
当的斜率存在时,设切线的方程为,
则,解得,
设的倾斜角为,
故的倾斜角为.
故选:D
3.(2023·广西·统考一模)直线绕原点顺时针旋转45°得到直线,若直线的倾斜角为,则(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得,求得的值,再根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得的值.由题意可知,,
,
故选:.
4.(2023·河北衡水·校考一模)直线的倾斜角是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得,故倾斜角为.故选B.
5.(2023·吉林长春·统考模拟预测)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知点和点为的顶点,则:“的欧拉线的方程为”是“点C的坐标为”的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题知,
必要性:当时,,
根据三线合一知:
的欧拉线的方程为;
充分性:
由题知,,的欧拉线的方程为
设重心,点,外接圆圆心为,
因为重心为,即
所以,
记中点为,
因为,在上,设
所以,
所以,即,
因为,解得或2,
所以点为或;
所以“的欧拉线的方程为”是“点C的坐标为”的必要不充分条件,
故选:B
6.(2023·山东·校联考二模)已知集合,,则中元素的个数为(????)
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】因为,表示直线上的点,
又因为,
所以集合表示如图所示的正方形边上的点,
所以中元素的个数即为直线与正方形的边的交点个数,
由图可知直线与正方形的边有2个交点,
即中元素的个数为2.
故选:C.
7.(2023·安徽安庆·校联考模拟预测)已知点在直线上的射影为点B,则点B到点距离的最大值为(????).
A. B.5 C. D.
【答案】C
【解析】将直线l整理得到,
于是,解得,所以直线l恒过点,
因为点在直线上的射影为点B,
所以,则点B在以线段为直径的圆上,该圆的圆心坐标为,
半径大小为,
又,
所以点B到点距离的最大值为,
故选:C.
8.(2023·浙江嘉兴·统考模拟预测)已知点,与直线,若在直线上存在点,使得,则实数的取值范围是(????)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对于直线,
即,所以在直线上,
设,其中,
由两边平方得,
即,
整理得,
由于,所以
,其中,
根据二次函数的性质可知,当时,取得最大值,
且最大值为,则,解得.
故选:A
9.(多选题)(2023·全国·高三专题练习)下列说法是错误的为(????)
A.直线的倾斜角越大,其斜率就越大
B.直线的斜率为tanα,则其倾斜角为α
C.斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等
D.经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示.
【答案】ABC
【解析】当直线的倾斜角为直角时,该直线不存在斜率,故选项A不正确;
当直线的斜率为,倾斜角为,故选项B不正确;
当两条直线的斜率相等,显然这两条直线的倾斜角相等,故选项选项C不正确;
根据直线的两点式方程可知选项D正确,
故选:ABC
10.(多选题)(2023·全国·高三专题练习)已知直线,其中,则(??)
A.当时,直线与直线垂直
B.若直线与直线平行,则
C.直线过定点
D.当时,直线在两坐标轴上的截距相等
【答案】AC
【解析】对于A,当时,直线的方程为,其斜率为1,而直线的斜率为-1,
所以当时,直线与直线垂直,所以A正确;
对于B,若直线与直线平行,则,解得或,所以B错误;
对于C,当时,,与无关,故直线过定点,所以C正确;
对于D,当时,直线的方程为,在两坐标轴上的截距分别是-1,1,不相等,所以D错误,
故选:AC.
11.(多选题)(2023·辽宁葫芦岛·高三统考期末)已知点,,斜率为的直线过点,则下列满足直线与线段相交的斜率取值范围是(????)
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】根据题意,在平面直角坐标系中,作出点,如图,
当直线与线段相交时,,,
所以,斜率取
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