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北京市东城区2024—2025学年度第二学期高三综合练习（一）

数学参考答案及评分标准2025.4

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

（1）C（2）B（3）D（4）A（5）C

（6）C（7）A（8）A（9）B（10）D

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

（11）

2

2

（12）

2

2

；0

（13）2（答案不唯一）（14）2；

5

4

（15）①③④

三、解答题（共6小题，共85分）

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）在△ABC中，因为b?c=1，所以b?c.所以C为锐角．

73

因为cos

sinC=，所以C=．

44

由余弦定理c2=a2+b2?2abcosC，得(b?1)2=36+b2?9b.

解得b=5.

1157

△ABC的面积sin

S=abC=.………7分

24

（Ⅱ）由a=6,b=5，b?c=1，得c=4.

cosA

b2+c2?a252+42?621

===

2bc2?5?48

.

因为C为锐角，所以2C?(0,?).

又cos212sin21cos

C=?C==A

8

由A?(0,?)，所以A=2C.………13分

数学参考答案第1页（共7页）

（17）（共14分）

解：（Ⅰ）因为四边形ABCD为平行四边形，所以BC.

因为AD?平面ADE，BC?平面ADE，所以BC平面ADE.

因为BF，DE?平面ADE，BF?平面ADE，所以BF平面ADE.

因为BC，所以平面BCF平面ADE.

因为FC?平面BCF，所以FC平面ADE.………………5分

（Ⅱ）选条件①：AE⊥CD.

因为平面ADE⊥平面CDE,平面ADE平面CDE=DE，

AD⊥DE，AD?平面ADE，所以AD⊥平面CDE.

因为CD?平面CDE，所以AD⊥CD.

因为AE⊥CD，AD，

所以CD⊥平面ADE.所以CD⊥DE.

如图建立空间直角坐标系D?xyz，设BF=t，

则A(1,0,0)，C(0,1,0)，E(0,0,1)，F(1,1,t).

所以AC=(?1,1,0)，AF=(0,1,t).

设平面AFC的法向量为m=(x,y,z)，则

??

?m

?

?m

m

0,

即

??x+y=0,

?+=

?

ytz0.

令z=?1，则y=t，x=t.于是m=(t,t,?1).

由于AE=(?1,0,1)，点E到平面AFC的距离d为

6

2

，

所以d

|AE?m||(?1)?t+0?t+1?(?1)|6

===

|m|(1)2

2+2+?2

tt

1

t=.

2

，解得

所以BF的长为

1

2

.………………14分

选条件②：AC=CE．

因为平面ADE⊥平面CDE，平面ADE平面CDE=DE，AD⊥DE，

AD?平面ADE，所以AD⊥平面CDE.所以AD⊥CD.所以?ADC=90o.

因为AD=ED，AC=EC，DC=DC，所以?ADC??EDC.

所以?ADC=?EDC=90o.所以CD⊥DE.

以下同选条件①.………………14分

数学参考答案第2页（共7页）

（18）（共13分）

解：（Ⅰ）在华东地区的6个省份中，水稻产量比小麦产量少的省份有安徽省和山东省，

所以在华东地区的6个省份中随机抽取一个省份，该省水稻产量比小麦产量少

的概率为

21

=.………………4分

63

（Ⅱ）在表1中水稻的播种面积排在前5名的省份是江西省、黑龙江省、安徽省、江

苏省和吉林省，其中属于东北地区的省份是黑龙江省和吉林省.

设X为水稻播种面积排在前5名且属于东北地区省份的个数，由题设，X的所

有可能值为0，1，2.

C7

2

()

=0==；PX7

C12

29

C?C

11

7

P(X=)==；

172

C1