【2025.4.高三一模】海淀数学试题及答案.docxVIP

海淀区2024—2025学年第二学期期中练习

2025.04

高三数学参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

（1）D（2）D（3）A（4）B（5）C

（6）C（7）B（8）D（9）D（10）D

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

（11）?7（12）5

2

π

（13）3，[0,]

6

（14）

1

2

（答案不唯一，只需满足0?a?1），[2,+?)（15）①③

三、解答题（共6小题，共85分）

（16）（本小题13分）

解：（Ⅰ）由四边形ABCD是正方形，可得BC//AD.

又因为BC?平面ADEF，AD?平面ADEF，

所以BC//平面ADEF.

又因为BC?平面BCEF，平面BCEF平面ADEF=EF，

所以BC//EF.

（Ⅱ）由四边形ABCD是正方形，可得AD⊥AB.

又因为平面ABCD⊥平面ABF，

所以AD⊥平面ABF.

所以AD⊥AF.

z

在△ABF中，因为AB=AF=1，BF=2，

B

所以AB2+AF2=BF2，

C

由勾股定理逆定理得AB⊥AF

如图，建立空间直角坐标系A?xyz，

A

F

y

D

由已知可得A(0,0,0)，D(1,0,0)，F(0,1,0)，

E

x

高三年级（数学）参考答案第1页（共9页）

E(2,1,0)，B(0,0,1)，C(1,0,1).

所以，DE=(1,1,0)，BC=(1,0,0)，BF=(0,1,?1)，

设平面BCEF的一个法向量为n=(x,y,z)，则

?

?

?

?BF

?=

0,

0,

?=

x0,

所以??=

?

yz

0.

取y=1，得x=0，z=1.

所以n=(0,1,1)，

设直线DF与平面BCEF所成角为?，

则sin?=|cos?DE,n?|==

|DE|?|n|

1

2

cosDE,n

n

==

|DE|?|n|

1

2

.

又因为?为锐角，所以π

?=.

6

（17）（本小题14分）

解：（Ⅰ）因为cos2A=1?2sin2A，

故由2asinA=33(1?cos2A)可得2asinA=63sin2A，

a

因为A?(0,?)，sinA?0，所以=33，

sinA

在△ABC中，由正弦定理

abb

=,所以=33,

sinAsinBsinB

因为b=26，所以sin2622

B==.

333

（Ⅱ）选条件②解答如下：

因为cosA=?A=，

A=6，A?(0,?)，所以sin1cos23

33

B=22，?B为锐角，所以cos1sin21因为sinB=?B=,

33

又因为A+B+C=?，

3162253

sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=?+?=,所以

33339

高三年级（数学）参考答案第2页（共9页）

abc

在△ABC中，由正弦定理===33,

sinAsinBsinC

所以c=33sinC=5(或者a=3)

又因为sin

3

A=，b=26

3

所以△ABC的面积

113

S=bcsinA=?26?5?=52.

223

选条件③解答如下：

a

由（Ⅰ），=33，且asinA=3，

sinA

解得a=3，sin3

A=,

3

因为a=3?26=b，所以

?

A?B?,

2

所以cosA?0，cos1sin26

A=?A=,

3

B=，?B为锐角，所以cosB?0，cos1sin21

22

因为sinB=?B=,

33

又因为A+B+C=?，所以

3162253

sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=?+?=,

33339

所以△ABC的面积

1153