2024_2025学年新教材高考数学第一章空间向量与立体几何4.2第2课时夹角问题练习含解析新人教A版选择性必修第一册.docxVIP

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第2课时夹角问题

学习目标1.会用向量法求线线、线面、面面夹角.2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．

学问点一两个平面的夹角

平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．

学问点二空间角的向量法解法

角的分类

向量求法

范围

两条异面直线所成的角

设两异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)

eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))

直线与平面所成的角

设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))

两个平面的夹角

设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))

1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是()

A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)

C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)

答案D

解析以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，

设正方体棱长为1，

则eq\o(A1M,\s\up6(—→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，－1))，eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，cos〈eq\o(A1M,\s\up6(—→))，eq\o(DN,\s\up6(→))〉＝eq\f(|\o(A1M,\s\up6(—→))·\o(DN,\s\up6(→))|,|\o(A1M,\s\up6(—→))||\o(DN,\s\up6(→))|)＝0.

∴〈eq\o(A1M,\s\up6(→))，eq\o(DN,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,2).

2．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－eq\f(\r(3),2)，则l与α所成的角为()

A．30°B．60°C．150°D．120°

答案B

解析设l与α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈m，n〉|＝eq\f(\r(3),2)，∴θ＝60°，故选B.

3．已知平面α的法向量u＝(1,0，－1)，平面β的法向量v＝(0，－1,1)，则平面α与β的夹角为________．

答案eq\f(π,3)

解析∵cos〈u，v〉＝eq\f(－1,\r(2)×\r(2))＝－eq\f(1,2)，∴〈u，v〉＝eq\f(2,3)π，

∴平面α与β的夹角是eq\f(π,3).

4．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，－2,0)，B(2,1，eq\r(6))，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为________．

答案eq\f(\r(7),4)

解析设平面xOz的法向量为n＝(0,1,0)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,3，eq\r(6))，

所以cos〈n，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝eq\f(n·\o(AB,\s\up6(→)),|n|·|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,4)，

所以sin〈n，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2)＝eq\f(\r(7),4).

故向量eq\o(AB,\s\up6(→))与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为eq\f(\r(7),4).

一、两条异面直线所成的角

例1如图，在三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝eq\r(3)，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值．

解以O为坐标原点，eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))的方向为x轴，y轴的正方向．建立如图所示的空间直角坐标系，

则O(0,0,0)，O