2024_2025学年高中数学第一章计数原理2.1第2课时排列与排列数公式学案新人教A版选修2_3.docVIP

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第2课时排列与排列数公式

排列数及排列数公式

【思索】

(1)“得到从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列”的含义是什么？

提示：“得到从n个不同元素中取出m个元素的一个排列”，包含两个方面：①从n个不同元素中取出m个元素；②依据肯定依次排列．

(2)排列与排列数有何不同？

提示：排列与排列数是两个不同的概念，“排列”是指从n个不同元素中取出m个元素依据肯定依次排成一列，是一种排法；“排列数”是指从n个不同元素中取出m个元素所得不同排列的个数，是一个数，用Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))表示．

【基础小测】

1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)

(1)由于排列数的阶乘式是一个分式，所以其化简的结果不肯定是整数．(×)

(2)Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))表示从5个不同元素中取出(5－2)个元素的全部不同的排列的个数．(×)

(3)若Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝10×9×8×7×6，则n＝10，m＝6.(×)

提示：(1)排列数是从若干个元素中取出若干个元素的排列的个数，所以排列数肯定是整数．

(2)Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))表示从5个不同元素中取出2个元素的全部不同的排列的个数．

(3)在Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))中m表示连乘因数的个数，所以n＝10，m＝5.

2．Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝()

A．10B．15C．60D．20

【解析】选C.Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝5×4×3＝60.

3．(教材例题改编)同宿舍4人，每两人互通一封信，则他们一共写信的封数等于________．

【解析】相当于从4个人中任取两个人，并且按依次排好，有多少个排列就有多少封信，共有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝12封信．

答案：12

类型一排列数的计算公式(数学运算)

1．连续整数的乘积(20－7)(20－8)…(20－17)用排列符号Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))(m＜n)可表示为()

A．Aeq\o\al(\s\up1(11),\s\do1(3))B．Aeq\o\al(\s\up1(11),\s\do1(13))C．Aeq\o\al(\s\up1(17),\s\do1(3))D．Aeq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(13))

【解析】选B.方法一：因为Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝n(n－1)…(n－m＋1)，

所以(20－7)(20－8)…(20－17)＝(20－7)[(20－7)－1]…[(20－7)－11＋1]

＝Aeq\o\al(\s\up1(11),\s\do1(20－7))＝Aeq\o\al(\s\up1(11),\s\do1(13)).

方法二：(20－7)(20－8)…(20－17)＝13×12×11×10×…×3＝Aeq\o\al(\s\up1(11),\s\do1(13)).

2．Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝________，Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝________．

【解析】Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝4×3＝12；Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝3×2×1＝6.

答案：126

3．(1)计算Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15))和Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6)).

(2)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且n＜55).

(3)化简n(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋m).

【解析】(1)Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15))＝15×14×13＝2730，Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))＝6×5×4×3×2×1＝720.

(2)因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，

且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15(个)数，所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝Aeq\o\al(\s\up1(15),\s\do1(69－n)).

(3)由排列数公式可知n(n＋1)(n