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吉林省松原市宁江区吉林油田高级中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知等差数列的前项和为，若，则（????）

A． B． C．1 D．

2．下列求导运算正确的是（???）

A． B．

C． D．

3．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（????）

A．13 B．12 C．9 D．6

4．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（????）

A．30种 B．60种 C．120种 D．240种

5．函数的极值点是（????）

A．0 B．1 C． D．

6．若数列满足（且），则称数列为“幂数列”．已知正项数列是“幂数列”且，设的前项之积为，则（???）

A．1024 B．1023 C． D．

7．已知点P为椭圆上任意一点，直线与交于A，B两点，则的取值范围是（???）

A． B． C． D．

8．若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的可能取值为（???）

A． B． C．1 D．2

二、多选题

9．关于空间向量，以下说法正确的是（????）

A．若，则是钝角

B．若对空间中任意一点，有，则四点共面

C．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底

D．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

10．是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，则（????）

A． B．

C． D．

11．函数的大致图象可能是（????）

A． B．

C． D．

三、填空题

12．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）．

13．如图，已知正方体，空间中一点满足，且，当取最小值时，点位置记为点，则数量积的不同取值的个数为.

14．已知不等式恰有2个非负整数解，求实数k的取值范围

四、解答题

15．已知函数.

(1)求；

(2)若曲线在处的切线与曲线也相切，求

16．已知数列的前项和为，，数列满足，.

(1)求数列，的通项公式；

(2)求数列的前项和.

17．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．

（1）求；

（2）求二面角的正弦值．

18．已知抛物线上有两点，且直线过点．

(1)求抛物线的标准方程；

(2)若抛物线上有一点，纵坐标为4，抛物线上另有两点，且直线与的斜率满足重心的横坐标为4，求直线的方程．

19．已知函数．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)当时，，求a的取值范围；

(3)设，证明：．

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《吉林省松原市宁江区吉林油田高级中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

D

C

C

B

D

B

A

BCD

AD

题号

11

答案

ABD

1．D

【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.

【详解】方法一：利用等差数列的基本量

由，根据等差数列的求和公式，，

又.

故选：D

方法二：利用等差数列的性质

根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，

，故.

故选：D

方法三：特殊值法

不妨取等差数列公差，则，则.

故选：D

2．D

【分析】根据复合函数的导函数计算判断A，B，C，应用乘法求导运算判断D.

【详解】因为所以A选项错误；

因为，所以B选项错误；

因为，所以C选项错误；

因为，所以D选项正确.

故选：D.

3．C

【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．

【详解】由题，，则，

所以（当且仅当时，等号成立）．

故选：C．

【点睛】

4．C

【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.

【详解】首先确定相同得读物，共有种情况，

然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，

根据分步乘法公式则共有种，

故选：C.

5．B

【分析】求导，利用函数的单调性及极值的定义求解．

【详解】，令，得，

当时，，单调递增；