2024_2025学年高中数学第三章导数及其应用3.3.2函数的极值与导数作业1含解析新人教A版选修1_1.docVIP

PAGE

1-

3.3.2利用导数探讨函数的极值(一)

一、基础过关

1.函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图象如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得微小值的点有()

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

2．下列关于函数的极值的说法正确的是()

A．导数值为0的点肯定是函数的极值点

B．函数的微小值肯定小于它的极大值

C．函数在定义域内有一个极大值和一个微小值

D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数

3．函数y＝x3－3x2－9x(－2x2)有()

A．极大值5，微小值－27

B．极大值5，微小值－11

C．极大值5，无微小值

D．微小值－27，无极大值

4．已知函数f(x)，x∈R，且在x＝1处，f(x)存在微小值，则()

A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)0；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0

B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)0；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0

C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)0；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0

D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)0；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0

5．若函数f(x)＝eq\f(x2＋a,x＋1)在x＝1处取极值，则a＝________.

6．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________．

7．求下列函数的极值：

(1)f(x)＝eq\f(x3－2,2?x－1?2)；

(2)f(x)＝x2e－x.

二、实力提升

8．若a0，b0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()

A．2 B．3 C．6 D．9

9．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有微小值，则实数a的取值范围是()

A．1a2 B．1a4

C．2a4 D．a4或a1

10.假如函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列推断：

①函数y＝f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(1,2)))内单调递增；

②函数y＝f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3))内单调递减；

③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；

④当x＝2时，函数y＝f(x)有微小值；

⑤当x＝－eq\f(1,2)时，函数y＝f(x)有极大值．

则上述推断正确的是________．(填序号)

11．已知f(x)＝x3＋eq\f(1,2)mx2－2m2x－4(m为常数，且m0)有极大值－eq\f(5,2)，求m的值．

12．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.

(1)求f(x)的极值；

(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？

三、探究与拓展

13．已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈

(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；

(2)当a≠eq\f(2,3)时，求函数f(x)的单调区间与极值．

答案

1．A2．D3．C4．C

5．3

6．9

7．解(1)函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．

∵f′(x)＝eq\f(?x－2?2?x＋1?,2?x－1?3)，

令f′(x)＝0，

得x1＝－1，x2＝2.

当x改变时，f′(x)，f(x)的改变状态如下表：

x

(－∞，

－1)

－1

(－1，

1)

1

(1，

2)

2

(2，

＋∞)

f′(x)

＋

0

－

＋

0

＋

f(x)



－eq\f(3,8)





3



故当x＝－1时，函数有极大值，

并且极大值为f(－1)＝－eq\f(3,8).

(2)函数的定义域为R，

f′(x)＝2xe－x＋x2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ex)))′

＝2xe－x－x2e－x

＝x(2－x)e－x，

令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.

当x改变时，f′(x)，f(x)的改变状态如下表：

x

(－∞，

0)

0

(0，

2)

2

(2，

＋∞)

f′(x)

－

0

＋

0

－

f(x)



0



4e－2



由上表可以看出，当x＝0时，函数有微小值，且为f(0)＝0；

当x＝2时，函数有极大值，且为f(2)＝4e－2.

8．D[f′(x)＝12x2－2ax－2b，

∵f(x)在x＝1处有极值，

∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b

又a0，b0