2025备考W的取值范围与最值问题（教师版）.docx

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第31讲的取值范围与最值问题

知识梳理

1、在区间内没有零点

同理，在区间内没有零点

2、在区间内有个零点

同理在区间内有个零点

3、在区间内有个零点

同理在区间内有个零点

4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则．

5、已知单调区间，则.

必考题型全归纳

题型一：零点问题

例1．（2024·全国·高三专题练习）设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】因为为任意实数，故函数的图象可以任意平移，从而研究函数在区间上的零点问题，即研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，

令，得，则它在轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为，，，，，，

则它们相邻两个零点之间的距离分别为，，，，，

故相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，

所以要使函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，

即，解得.

故选：C

例2．（2024·全国·高一专题练习）设函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则的取值范围是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，即在区间上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根，

，

如图：

①当，则，得无解；

②当，则，求得；

③当时，则，求得；

④当时，区间长度超过了正弦函数的两个最小正周期长度，故方程在区间上至少有4个根，不满足题意；

综上，可得或；

故选：D.

例3．（2024·河北·高二统考学业考试）设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】令，则

令，则

则问题转化为在区间上至少有两个，至少有三个t，使得，求的取值范围.

作出和的图像，观察交点个数，

可知使得的最短区间长度为2π，最长长度为，

由题意列不等式的：

解得：.

故选：B

变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的图象是由（）的图象向右平移个单位得到的，若在上仅有一个零点，则的取值范围是（）．

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】由题知，函数在上仅有一个零点，

所以，所以，

令，得，即.

若第一个正零点，则（矛盾），

因为函数在上仅有一个零点，

所以，解得.

故选：C.

变式2．（2024·全国·高三专题练习）记函数的最小正周期为.若，为的零点，则的最小值为（）

A．2B．3C．4D．6

【答案】C

【解析】因为的最小正周期为，且，

所以，

因为，所以，

所以，

因为为的零点，

所以，

所以，解得，

因为，所以的最小值为4，

故选：C

变式3．（2024·全国·模拟预测）若函数在上有3个零点，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】令，则

当时，，即，

当时，，矛盾，

所以，且，又，

所以，且，

所以．

所以，因为，

所以函数的正零点从小到大依次为：，，，，

因为函数在上有3个零点，

所以

所以．

故选：D．

题型二：单调问题

例4．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数的图象关于点对称，且在上单调，则的取值集合为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】关于点对称，所以，

所以①；

，而在上单调，

所以，②；

由①②得的取值集合为.

故选：C

例5．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】设函数的最小正周期为，

因为是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，

则，其中，所以，，，

因为函数在区间上单调，则，所以，.

所以，的可能取值有：、、、、.

（i）当时，，，

所以，，则，

，，所以，，

当时，，所以，

函数在上不单调，不合乎题意；

（ii）当时，，，

所以，，则，

，，所以，，

当时，，所以，

函数在上单调递减，合乎题意.

因此，的最大值为.

故选：A.

例6．（2024·内蒙古赤峰·校考模拟预测）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间[0，]上不单调，则的最小值为（）

A．9B．7C．11D．3

【答案】C

【解析】因直线是曲线的一条对称轴，则，即，

由得，则函数在上单调递增，

而函数在区间上不单调，则，解得，

所以的最小值为11.

故选：C

变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的一个对称中心为，在区间上不单调，则的最小正整数值为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【解析】由函数的一个对称中心为，

可得，

所以，，

，，

，

由在区间上不单调，

所以在区间上有解，

所以，在区间上有解，

所以，

所以，，

又，所以