8.3 列联表与独立性检验（五大题型）（解析版）.docx

8．3列联表与独立性检验

【题型归纳目录】

题型一：用2×2列联表分析两分类变量间的关系

题型二：用等高堆积条形图分析两分类变量间的关系

题型三：有关“相关的检验”

题型四：有关“无关的检验”

题型五：独立性检验的综合应用

【知识点梳理】

1、分类变量

这里所说的变量和值不一定是具体的数值，例如：性别变量，其取值为男和女两种

我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量，分类变量的取值可以用实数表示．

2、2×2列联表

在实践中，由于保存原始数据的成本较高，人们经常按研究问题的需要，将数据分类统计，并做成表格加以保存，我们将这类数据统计表称为2×2列联表，2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数．

一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为

合计

a

b

c

d

合计

3、等高堆积条形图

等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征，依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断结果．

4、临界值

统计量也可以用来作相关性的度量．越小说明变量之间越独立，越大说明变量之间越相关

．忽略的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值，可以找到相应的正实数，使得成立．我们称为的临界值，这个临界值就可作为判断大小的标准．

5、独立性检验

基于小概率值的检验规则是：

当时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过；

当时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立．

这种利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验（testofindependence）．

下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值

0．1

0．05

0．01

0．005

0．001

2．706

3．841

6．635

7．879

10．828

6、应用独立性检验解决实际问题的大致步骤

（1）提出零假设：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释；

（2）根据抽样数据整理出2×2列联表，计算的值，并与临界值比较；

（3）根据检验规则得出推断结论；

（4）在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律．

【典型例题】

题型一：用2×2列联表分析两分类变量间的关系

【典例1-1】（2024·高二·全国·专题练习）下面是一个列联表，其中a、b处填的值分别为（????）

总计

a

21

73

2

25

27

总计

b

46

100

A．52、54

B．54、52

C．94、146

D．146、94

【答案】A

【解析】由题意可得，解得，

所以a、b值分别为52、54.

故选：A.

【典例1-2】（2024·高二·江苏·课时练习）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀，得到列联表如下：

优秀

非优秀

总计

甲班

乙班

总计

105

已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是()

A．列联表中c的值为30，b的值为35

B．列联表中c的值为15，b的值为50

C．列联表中c的值为20，b的值为50

D．由列联表可看出成绩与班级有关系

【答案】D

【解析】依题意，解得，由解得.

补全列联表如下：

优秀

非优秀

总计

甲班

乙班

总计

105

甲班的优秀率为，乙班的优秀率为，

，所以成绩与班级有关.所以D选项正确，ABC选项错误.

故选：D

【变式1-1】（2023高二·全国·专题练习）某村庄对该村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示：

每年体检

每年未体检

合计

老年人

7

年轻人

6

合计

50

已知抽取的老年人、年轻人各25名.则完成上面的列联表数据错误的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为，，

，，，，

所以，，，，．

故选：D．

【变式1-2】（2024·高二·广西河池·期末）假设有两个变量x与y的列联表如下表：

a

b

c

d

对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为（????）

A．，，， B．，，，

C．，，， D．，，，

【答案】B

【解析】对于A，，

对于B，，

对于C，，

对于D，

显然B中最大，该组数据能说明x与y有关系的可能性最大,

故选:B.

【变式1-3】（2024·高二·山西太原·期中）在统计中，研究两个分类变量是否存在关联性时，常用的图表有（????）

A．散点图和残差图 B．残差图和列联表

C．散点图和等高堆积条形图 D．等高堆积条形图和列联表

【答案】D

【解析】散点图是研究两个变量间的关系，

列联表是研究两