单元高难问题04函数思想的运用（各大名校50题专项训练）（解析版）.docx

单元高难问题04函数思想的运用（各大名校50题专项训练）

【高难问题突破方案与技巧】

函数思想的实质就是用联系变化的观点，提取数学对象并建立函数关系。对函数的图象及性质的研究可以加深对函数性质的理解与掌握。

【各大名校50题专项训练】

一、解答题

1．（2023上·上海·高一复旦附中校考期中）某奶茶店今年年初花费16万元购买了一台制作冰淇淋的设备，经估算，该设备每年可为该奶茶店提供12万元的总收入.已知使用x年（x为正整数）所需的各种维护费用总计为万元（今年为第一年）.

(1)试问：该奶茶店第几年开始盈利（总收入超过总支出）？

(2)该奶茶店在若干年后要卖出该冰淇淋设备，有以下两种方案：

①当盈利总额达到最大值时，以1万元的价格卖出该设备；

②当年均盈利达到最大值时，以2万元的价格卖出该设备.

试问哪一种方案较为划算？请说明理由.

【答案】(1)从第三年开始盈利.

(2)两种方案盈利总数一样，但方案②时间短，较为划算.

【分析】（1）列出纯收入的函数表达式，解纯收入大于0的不等式即可.

（2）分别计算两种方案的盈利和时间，比较后得结论.

【详解】（1）由题意可知，总收入扣除支出后的纯收入，

，解得，

由，所以从第三年开始盈利.

（2）方案①：

纯收入，则5年后盈利总额达到最大值9万元，

以1万元的价格卖出该设备，共盈利10万元；

方案②：

年均盈利，

由，，当且仅当，即时等号成立，

，

当4年后年均盈利达到最大值2万元时，以2万元的价格卖出该设备，

共盈利万元.

两种方案盈利总数一样，但方案②时间短，较为划算.

2．（2023上·上海·高一上海市文来中学校考阶段练习）今年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素中有种半衰期在年以上；有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时，；若时，.

(1)求k和a的值

(2)这种有机体体液内该放射性元素浓度衰减为时，大约需要多少年？

【答案】(1)

(2)大约需要年

【分析】（1）根据已知条件列式解方程组求出的值；

（2）由（1）可得：，令时，在等式两边取对数即可求解.

【详解】（1）由题意得:，解得，

所以.

（2）由（1）可得：，

当时，得，即，

两边取对数得，

所以，

即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要年.

3．（2022上·上海静安·高一校考期中）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下，

①3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值（单位：）与游玩时间（小时）满足关系式：；

②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验值不变）；

③超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50．

(1)求当玩家游玩6小时时，求此时的累积经验值；

(2)若玩家为保证累积经验值不低于60，分别求玩家最短游玩时间和可持续保证累积经验值始终不低于60的游玩时间．

【答案】(1)

(2)玩家最短游玩时间为小时，可持续保证累积经验值始终不低于60的游玩时间为小时.

【分析】（1）根据“防沉迷系统”的规则求得累积经验值.

（2）根据“防沉迷系统”的规则求得“可持续保证累积经验值始终不低于60的游玩时间”.

【详解】（1）根据二次函数的性质可知，在区间上递增，

当时，，

当时，，

当时，.

（2）令，解得（负根舍去），

故①当时，累积经验值不低于60.

②当时，累积经验值，

综上所述，玩家最短游玩时间为小时，

可持续保证累积经验值始终不低于60的游玩时间为小时.

4．（2023上·上海浦东新·高一校考阶段练习）随着人工智能的飞速进展，临港某车辆装配车间每2小时装配完成一辆车.按照计划，该车间今天生产8小时.从当天开始生产的时刻起，所经过的时间x（单位：小时）与装配完成的车辆数（单位：辆），表示为函数.

(1)用分段表示法写出函数的解析式；

(2)数学上，常用表示不大于的最大整数，例如，；也叫做取整函数.请用取整函数写出函数的简洁表达式.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定的条件，利用分段函数写出函数解析式即得.

（2）利用（1）的结论，结合取整函数的定义求解即得.

【详解】（1）当时，；当时，；当时，；

当时，；当时，，

所以函数的解析式为.

（2）由取整函数的意义知，当，即时，；

当，即时，；当，即时，；

当，即时，；当，即时，，

所以.

5．（2021上·上海黄浦·高一上海外国语大学附属大境中学校考阶段练习）某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少