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双曲线

一基本概念

1.双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：当P在右支时，当P在左支时

2.双曲线的标准方程、图象及几何性质：

中心在原点，焦点在轴上

中心在原点，焦点在轴上

标准方程

图形

x

x

O

F1

F2

P

y

A2

A1

x

x

O

F1

P

B2

B1

F2

顶点

对称轴

轴，轴；虚轴为，实轴为

焦点

焦距

离心率

渐近线

椭圆和双曲线比较：

椭圆

双曲线

定义

方程

焦点

（2）双曲线的性质

①、范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。即，即双曲线在两条直线的外侧。

②、对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

③、顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。

1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长

④、渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。

⑤、等轴双曲线：

1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：；

2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直

注意：以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。

3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为：，当时交点在轴，当时焦点在轴上

⑥、注意与的区别：三个量中不同（互换）相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。

（3）、理解双曲线应注意的几点

1、椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据．同样，双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据，由于，当从接近1逐渐增大时，的值就从接近于逐渐增大，双曲线的“张口”逐渐增大．

2、要掌握根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的求法．

∵，∴把标准方程中的“1”用“”替换即可得出渐近线方程．

3、已知渐近线方程求双曲线的标准方程的方法：

①、渐近线方程为的双曲线的方程为：（且为常数）．

②、与双曲线有共同渐近线的双曲线的方程可设为（且为常数）．

二例题分析

【题型一】双曲线定义

【例1】（和平区2011高考一模）.设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左右焦点，若，则（）

A.10B.8C.6D.1

【例2】（2012年全国卷新课标）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（）

【题型二】双曲线标准方程

【例1】（2010年天津理5).已知双曲线的

渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上，

则双曲线的方程为（）

（A）（B）

（C）（D）

【例2】（2010年天津文13）.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同。则双曲线的方程为.

【例3】（2011山东理）已知双曲线的两条渐近线均和圆C:相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）

ABCD．

【例4】（2011山东文）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为

【例5】（2011安徽理）双曲线的实轴长是（）

A．2 B C．4 D．

【变式1】（2011·上海理）设m是常数，若点F(0，5)是双曲线的一个焦点，则m=。

【变式2】（2011·湖南文）设双曲线的渐近线方程为则的值为（）

A．4 B．3 C．2 D．1

【变式3】（2012年天津文）设知双曲线：和：有相同的渐近线，且的右焦点，则；.

【例6】（2012年山东）已知椭圆：的离心率为，与双曲线的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，求该椭圆方程.

【题型三】双曲线渐近线

【例1】（河西区2