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结构位移计算的图乘法

（一）图乘法的计算公式（二）图乘法计算结构位移内容概要核心内容图乘法计算结构位移全国结构力学青年教师讲课比赛演示稿

概述〔一〕概述△KP=图乘法:计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算下面的积分当结构符合下述条件时：（1）杆轴为直线；（2）EI=常数；上述积分可以得到简化。和M两个弯矩图中至少有一个是直线图形。（3）

图乘法计算公式MP图面积??ABOABMP⌒〔二〕图乘法的计算公式tg?=常数，则设等截面直杆AB段的两个弯矩图中，为一段直形状，则上式中的ds可用代替。故有一、公式推导

图乘法计算公式MP图形心C面积??ABOABMP⌒有而积分运算化简为一个弯矩图的面积?乘以其形心处所对应的另一个直线弯矩图上的竖标yC。如果结构上所有各杆段均可图乘则位移计算公式可写成

图乘法计算公式二、图乘法的注意事项（1）必须符合上述三个前提条件；（2）竖标yC只能取自直线图形；（3）?与yC若在杆件同侧则乘积取正号，反之取负号。三、常用的几种简单图形的面积和形心Lh2L/3L/3形心?Lh?ab（L+a)/3(L+b)/3形心

图乘法计算公式?Lh3L/4L/43L/85L/8?1?2顶点二次抛物线?Lh顶点L/2二次抛物线

图乘法计算公式四、图乘的技巧当图形的面积和形心位置不便确定时，将它分解成简单图形，之后分别与另一图形相乘，然后把所得结果叠加。L?MP图abcdybya

?MP图abcdyaybLQAMAQBMBMBMA??ABMAMB对于在均布荷载作用下的任何一段直杆，其弯矩图均可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。?叠加后的抛物线图形（?）与原抛物线图形（?）的面积大小和形心位置以及形心处的竖标仍然是相同的。图乘法计算公式

图乘法计算公式当yC所属图形是由若干段直线组成时，或各杆段的截面不相等时，均应分段相乘，然后叠加。??1?2?3y1y2y3?1?2?3y1y2y3I1I2I3△=(?1y1+?2y2+?3y3)△=

图乘法计算结构位移解：1.作实际状态的MP图。2.设置虚拟状态并作3.计算（→←）EI?yCEI38212EI?CD=∑=1(2qLL)h=qhL2三、图乘法计算结构位移例1、求下图所示刚架C、D两点间距离的改变。设EI=常数。CDBLhqAMP图?形心11hyC=hh

图乘法计算结构位移1PPLMP图LABCDEIEI2EIPLLL/2例2、求图示刚架A点的竖向位移△Ay。解：1.作MP图、2.图乘计算。

图乘法计算结构位移例3、求图示外伸梁C点的竖向位移△Cy。EI=常数。qCABL?1MP图图1y2y3y1+??2?3解：1.作MP图2.作图3.图乘计算y1=y2=y3=△Cy=

图乘法计算公式小结图乘法将积分运算简化为求图形的面积、形心位置及纵坐标运算问题，使梁和刚架的位移计算变的较为简便。但需注意图乘法的应用条件和正负号规定。

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